Exercício 3.17 Considere o subespaço vetorial de M_{2}(\bar{R}) dado por:
U=\left\{\left[\begin{array}{ll} x & y \\\ z & t \end{array}\right] / x-y-z=0\right\}
Determine um sistema de geradores para U.

Passo 1

O enunciado pede um sistema de geradores para o subespaço
U = \biggl\{\begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in M_{2}(\bar{R}) \mid x - y - z = 0\biggr\}.
O conteúdo envolve reconhecer a condição linear que define U, escrever um elemento genérico e reescrevê-lo como combinação linear de matrizes fixas.

Passo 2

Seja
A = \begin{pmatrix}x & y\\\ z & t\end{pmatrix}\in U.
A condição x - y - z = 0 implica
x = y + z.
Portanto
A = \begin{pmatrix}y+z & y\\\ z & t\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora distribuo os parâmetros y,z,t como combinação linear:
A = y\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} + z\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Isso mostra que todo elemento de U é combinação linear das matrizes
E_{1} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \quad E_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad E_{3} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Resposta

Um sistema de geradores de U é
\left\{ \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} \right\}.

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