Seja f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear definida por f(1,1,1)=(1,2), f(1,1,0)=(2,3) e f(1,0,0)=(3,4). Determinar:
a) f(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z});
b) v_{1} \in \mathbb{R}^{3} tal que f\left(v_{1}\right)=(-3,-2);
c) v_{2} \in \mathbb{R}^{3} tal que f\left(v_{2}\right)=(0,0).

Passo 1

O enunciado define f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 linear pelos valores em três vetores:
v_1=(1,1,1),\quad v_2=(1,1,0),\quad v_3=(1,0,0),
com
f(v_1)=(1,2),\quad f(v_2)=(2,3),\quad f(v_3)=(3,4).
Precisamos achar:
a) a fórmula geral de f(x,y,z);
b) um vetor v_1 tal que f(v_1)=(-3,-2);
c) um vetor não-nulo v_2 com f(v_2)=(0,0).

Passo 2

Para obter f(x,y,z) é útil saber as imagens dos vetores da base canônica \{e_1,e_2,e_3\}. Note que
e_1=v_3,\quad e_2=v_2-v_3,\quad e_3=v_1-v_2.

Passo 3

Usando linearidade:
f(e_1)=f(v_3)=(3,4),
f(e_2)=f(v_2)-f(v_3)=(2,3)-(3,4)=(-1,-1),
f(e_3)=f(v_1)-f(v_2)=(1,2)-(2,3)=(-1,-1).

Passo 4

Como (x,y,z)=x e_1+y e_2+z e_3 e f é linear, temos
f(x,y,z)=x\,f(e_1)+y\,f(e_2)+z\,f(e_3)
=\;x\,(3,4)+y\,(-1,-1)+z\,(-1,-1)
=\bigl(3x-y-z,\;4x-y-z\bigr).

Passo 5

Para achar v_1=(x,y,z) com f(v_1)=(-3,-2) resolvemos o sistema
3x-y-z=-3,
4x-y-z=-2.
Subtraindo a primeira da segunda vem x=1 e então y+z=6. Por exemplo, escolhendo y=0 e z=6 obtemos
v_1=(1,0,6).

Passo 6

Para v_2 no núcleo, queremos f(v_2)=(0,0), ou seja
3x-y-z=0,\quad4x-y-z=0.
Isto dá x=0 e y+z=0. Tomando y=1, z=-1, temos
v_2=(0,1,-1).

Resposta

a) f(x,y,z)=\bigl(3x-y-z,\;4x-y-z\bigr).
b) Um exemplo é v_1=(1,0,6).
c) Um exemplo é v_2=(0,1,-1).

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