Seja
a transformação linear definida por
,
e
. Determinar:
a)
;
b)
tal que
;
c)
tal que
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado define
linear pelos valores em três vetores:
com
Precisamos achar:
a) a fórmula geral de ;
b) um vetor tal que
;
c) um vetor não-nulo com
.
a) a fórmula geral de
b) um vetor
c) um vetor não-nulo
Passo 2
Para obter
é útil saber as imagens dos vetores da base canônica
. Note que
Passo 3
Usando linearidade:
Passo 4
Como
e
é linear, temos
Passo 5
Para achar
com
resolvemos o sistema
Subtraindo a primeira da segunda vem
e então
. Por exemplo, escolhendo
e
obtemos
Passo 6
Para
no núcleo, queremos
, ou seja
Isto dá
e
. Tomando
,
, temos
Resposta
a)
.
b) Um exemplo é .
c) Um exemplo é .
b) Um exemplo é
c) Um exemplo é