Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, vamos usar a definição:
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem
-
(aditividade), -
(homogeneidade).
Passo 2
Verificação da aditividade. Seja
e
. Então
e
Por outro lado,
logo
Como os dois resultados coincidem, a aditividade vale.
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Portanto a homogeneidade também vale.
Passo 4
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A função
é linear.