Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{y}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{x})

Passo 1

O enunciado dá a transformação
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^4,\quad f(x,y) = (y,\,x,\,y,\,x)
e pede para verificar se ela é linear. Para isso, vamos usar a definição: f é linear se, para todo u,v \in \mathbb{R}^2 e todo escalar \alpha, valem
  1. f(u+v) = f(u) + f(v) (aditividade),
  2. f(\alpha\,u) = \alpha\,f(u) (homogeneidade).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e
f(u+v) = f(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(y_1+y_2,\;x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;x_1+x_2\bigr).
Por outro lado,
f(u) = (y_1,x_1,y_1,x_1), \quad f(v) = (y_2,x_2,y_2,x_2),
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f(u) + f(v) = (y_1+y_2,\;x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;x_1+x_2).
Como os dois resultados coincidem, a aditividade vale.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
\alpha\,u = (\alpha x,\;\alpha y)
e
f(\alpha\,u) = f(\alpha x,\;\alpha y) = \bigl(\alpha y,\;\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha x\bigr) = \alpha\,(y,x,y,x) = \alpha\,f(x,y).
Portanto a homogeneidade também vale.

Passo 4

Como f satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que f é uma transformação linear.

Resposta

A função f(x,y)=(y,x,y,x) é linear.

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