Dada a transformação linear , de modo que o autovalor possui os autovetores gerado por , e enquanto o autovalor possui o autovetores gerado por e possui o autoespaço gerado por . Encontre uma escrita para .
Passo 1
O enunciado pede uma expressão para a transformação linear cujos autovalores e autovetores são:
com autoespaço gerado por ,
com autoespaço gerado por ,
com autoespaço gerado por .
O conteúdo usado será diagonalização (mudança de base para a base de autovetores) e decomposição de um vetor qualquer nessa base.
Passo 2
Denotemos
Como é um conjunto de três vetores LI em , eles formam base. Logo todo pode ser escrito como
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada,
Dessa igualdade extraímos um sistema para :
Passo 4
Da terceira equação vem
b = -,z
Somando as duas primeiras equações obtemos
2a + 2b = x+y Longrightarrow a = x+y2 - b = x+y2 + z
Subtraindo-as,
2c = x - y Longrightarrow c = x-y2
Passo 5
Como T(v1)=0, T(v2)=-1cdot v2 e T(v3)=2cdot v3, para (x,y,z)=a v1+b v2+c v3 temos