Dada a transformação linear T: R^3 R^3, de modo que o autovalor lambda=0 possui os autovetores gerado por >=r(1,1,0), e enquanto o autovalor lambda=-1 possui o autovetores gerado por >=r(1,1,-1) e lambda=2 possui o autoespaço gerado por >=r(1,-1,0). Encontre uma escrita para T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede uma expressão para a transformação linear T:R^3toR^3 cujos autovalores e autovetores são:
  • lambda=0 com autoespaço gerado por (1,1,0),
  • lambda=-1 com autoespaço gerado por (1,1,-1),
  • lambda=2 com autoespaço gerado por (1,-1,0).
    O conteúdo usado será diagonalização (mudança de base para a base de autovetores) e decomposição de um vetor qualquer nessa base.

Passo 2

Denotemos
v1=(1,1,0), v2=(1,1,-1), v3=(1,-1,0)
Como v1,v2,v3 é um conjunto de três vetores LI em R^3, eles formam base. Logo todo (x,y,z) pode ser escrito como
(x,y,z)=a,v1 + b,v2 + c,v3

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada,
a(1,1,0)+b(1,1,-1)+c(1,-1,0) =(a+b+c,;a+b-c,;-b) =(x,y,z)
Dessa igualdade extraímos um sistema para a,b,c:
a+b+c = x, a+b-c = y, -,b = z

Passo 4

Da terceira equação vem
b = -,z
Somando as duas primeiras equações obtemos
2a + 2b = x+y Longrightarrow a = x+y2 - b = x+y2 + z
Subtraindo-as,
2c = x - y Longrightarrow c = x-y2

Passo 5

Como T(v1)=0, T(v2)=-1cdot v2 e T(v3)=2cdot v3, para (x,y,z)=a v1+b v2+c v3 temos
T(x,y,z) = acdot0,v1 ;+; bcdot(-1),v2 ;+; ccdot2,v3 =-,b,v2 + 2c,v3
Substituindo b=-z e c=(x-y)/2,
T(x,y,z) = z,v2 + (x-y),v3

Passo 6

Finalmente, escrevendo em coordenadas canônicas,
T(x,y,z) = z,(1,1,-1) ;+;(x-y),(1,-1,0) =(,x - y + z,; -x + y + z,; -z,)

Resposta

T(x,y,z) = l(x - y + z,;-x + y + z,;-zr)

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