Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes sào subespaços de M No .
(e) O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n times n tais que A^7=-A.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = Ain Mntimes n mid A^7 = -A
e decidir se S é subespaço de Mntimes n. Vamos usar o conteúdo de espaços vetoriais, em particular o Teorema 4.2. 1 sobre subespaços.

Passo 2

O Teorema 4.2. 1 afirma que um subconjunto W de um espaço vetorial V sobre um corpo Bbb K é subespaço de V se, e somente se, satisfaz três condições:
1. O vetor zero de V pertence a W.
2. Para quaisquer u,vin W, tem-se u+vin W.
3. Para qualquer uin W e qualquer escalar cinBbb K, tem-se c,uin W.

Passo 3

Verificação de elemento zero: seja 0 a matriz zero em Mntimes n. Então
0^7 = 0 e -0 = 0,
logo 0^7=-0 e 0in S. Portanto a primeira condição está OK.

Passo 4

Exibimos um elemento não trivial em S. Considere a rotação em R^2 de ângulo pi/6:
R = cos(pi/6) & -sin(pi/6)[6pt] sin(pi/6) & cos(pi/6)
Como R^6 é rotação de 6cdot(pi/6)=pi, temos
R^6 = -1&00&-1 = -I Longrightarrow R^7 = R^6R = -I,R = -R
Logo Rin S e Rneq 0.]

Passo 5

Teste de fechamento por multiplicação escalar: tome o escalar c=2 e o mesmo Rin S. Então
(2R)^7 = 2^7R^7 = 128l(-Rr) = -128,R,
porém
-(2R) = -2,R
Como -128,Rneq -2,R (supondo Rneq0), segue (2R)^7neq -(2R). Portanto 2Rnotin S e a condição de fechamento escalar falha.

Resposta

O conjunto Ain Mntimes nmid A^7=-A não é subespaço de Mntimes n.

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