Use o Teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes sào subespaços de
.
(e) O conjunto de todas as matrizes
de tamanho
tais que
.
(e) O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
e decidir se
é subespaço de
. Vamos usar o conteúdo de espaços vetoriais, em particular o Teorema
.
sobre subespaços.
Passo 2
O Teorema
.
afirma que um subconjunto
de um espaço vetorial
sobre um corpo
é subespaço de
se, e somente se, satisfaz três condições:
. O vetor zero de
pertence a
.
. Para quaisquer
, tem-se
.
. Para qualquer
e qualquer escalar
, tem-se
.
Passo 3
Verificação de elemento zero: seja
a matriz zero em
. Então
logo
e
. Portanto a primeira condição está OK.
Passo 4
Exibimos um elemento não trivial em
. Considere a rotação em
de ângulo
:
Como
é rotação de
, temos
Logo
e
.]
Passo 5
Teste de fechamento por multiplicação escalar: tome o escalar
e o mesmo
. Então
porém
Como
(supondo
), segue
. Portanto
e a condição de fechamento escalar falha.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
.