Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar os autovalores de e de . Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como eles se comportam quando aplicamos potências na transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Dada uma transformação linear , um número é chamado de autovalor de se existe um vetor não nulo tal que . Esses valores são fundamentais porque nos dizem como a transformação “escalona” os vetores.
Passo 3
Para encontrar os autovalores de , vamos representar a transformação como uma matriz. A transformação pode ser representada pela matriz:
Passo 4
Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A .
Tentamos encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são divisores de 4: pm1, pm2, pm4 .
Testando lambda = 1 :
1 - 3 + 4 = 2 neq 0
Testando lambda = 2 :
8 - 12 + 4 = 0 Rightarrow lambda = 2 é uma raiz é
Passo 9
Agora, dividimos o polinômio por para encontrar os demais fatores:
Usando a divisão sintética:
Então, o polinômio fatorado é:
Passo 10
Agora, resolvemos lambda^2 - lambda - 2 = 0 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então,
lambda1 = 1 + 32 = 2 lambda2 = 1 - 32 = -1
Portanto, os autovalores de A são lambda = 2 (com multiplicidade 2) e lambda = -1 .
Passo 11
Agora, vamos determinar os autovalores de T^10 e T^-8 . Sabemos que se lambda é um autovalor de T , então lambda^n é um autovalor de T^n para qualquer inteiro n .
Portanto:
Os autovalores de T^10 serão 2^10 = 1024 e (-1)^10 = 1 .
Os autovalores de T^-8 serão 2^-8 = 1256 e (-1)^-8 = 1 .
Resposta
Os autovalores de T^10 são 1024 e 1 , e os autovalores de T^-8 são 1256 e 1 .