Dado T(x, y, z)=(3 x-y, x+y, x-z), encontre os autovalores de T^10(x, y, z) e de T^-8(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma transformação linear T definida por T(x, y, z) = (3x - y, x + y, x - z) . Nosso objetivo é encontrar os autovalores de T^10 e de T^-8 . Para isso, vamos precisar entender o que são autovalores e como eles se comportam quando aplicamos potências na transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovalor. Dada uma transformação linear T , um número lambda é chamado de autovalor de T se existe um vetor não nulo v tal que T(v) = lambda v . Esses valores lambda são fundamentais porque nos dizem como a transformação T “escalona” os vetores.

Passo 3

Para encontrar os autovalores de T , vamos representar a transformação como uma matriz. A transformação T(x, y, z) = (3x - y, x + y, x - z) pode ser representada pela matriz:
A = 3 & -1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 0 & -1

Passo 4

Agora, para encontrar os autovalores de A , precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que A .

Passo 5

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 0 1 & 1 - lambda & 0 1 & 0 & -1 - lambda

Passo 6

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda) cdot ( (1 - lambda)(-1 - lambda) - 0 cdot 0 ) - (-1) cdot ( 1 cdot (-1 - lambda) - 0 cdot 1 ) + 0 cdot ( 1 cdot 0 - (1 - lambda) cdot 1 )
Simplificando:
= (3 - lambda) cdot ( (1 - lambda)(-1 - lambda) ) + (1) cdot (1 cdot (-1 - lambda))

Passo 7

Vamos expandir os termos:
Primeiro, calculemos (1 - lambda)(-1 - lambda) :
(1 - lambda)(-1 - lambda) = -1 - lambda + lambda + lambda^2 = -1 + lambda^2
Agora, substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-1 + lambda^2) + (-1 - lambda)
Expandindo (3 - lambda)(-1 + lambda^2) :
= 3(-1) + 3lambda^2 - lambda(-1) - lambda cdot lambda^2 = -3 + 3lambda^2 + lambda - lambda^3
Agora, juntando com o termo restante:
-3 + 3lambda^2 + lambda - lambda^3 + (-1 - lambda) = -3 - 1 + 3lambda^2 + lambda - lambda - lambda^3 = -4 + 3lambda^2 - lambda^3
Reorganizando:
-lambda^3 + 3lambda^2 - 4 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 3lambda^2 + 4 = 0

Passo 8

Agora, resolvemos a equação cúbica:
lambda^3 - 3lambda^2 + 4 = 0
Tentamos encontrar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes são divisores de 4: pm1, pm2, pm4 .
Testando lambda = 1 :
1 - 3 + 4 = 2 neq 0
Testando lambda = 2 :
8 - 12 + 4 = 0 Rightarrow lambda = 2 é uma raiz é

Passo 9

Agora, dividimos o polinômio por para encontrar os demais fatores:
Usando a divisão sintética:
Então, o polinômio fatorado é:

Passo 10

Agora, resolvemos lambda^2 - lambda - 2 = 0 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então,
lambda1 = 1 + 32 = 2 lambda2 = 1 - 32 = -1
Portanto, os autovalores de A são lambda = 2 (com multiplicidade 2) e lambda = -1 .

Passo 11

Agora, vamos determinar os autovalores de T^10 e T^-8 . Sabemos que se lambda é um autovalor de T , então lambda^n é um autovalor de T^n para qualquer inteiro n .
Portanto:
  • Os autovalores de T^10 serão 2^10 = 1024 e (-1)^10 = 1 .
  • Os autovalores de T^-8 serão 2^-8 = 1256 e (-1)^-8 = 1 .

Resposta

Os autovalores de T^10 são 1024 e 1 , e os autovalores de T^-8 são 1256 e 1 .

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