Dada a transformação linear T: R^3 R^3 tal que T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1) e T(0,0,1)=(1,-1,6).
Determine T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^3 e fornece as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(1,-1,6)
O conteúdo envolvido é propriedade de linearidade de transformações lineares em R^n.

Passo 2

Pela linearidade, um vetor arbitrário (x,y,z) em R^3 se escreve como
(x,y,z)=x,(1,0,0)+y,(0,1,0)+z,(0,0,1),
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T(x,y,z)=x,T(1,0,0)+y,T(0,1,0)+z,T(0,0,1)

Passo 3

Substituindo as imagens dadas:
T(x,y,z) = x,(1,1,0)+y,(0,0,1)+z,(1,-1,6)
Agora somamos componente a componente:
1ª comp: xcdot1 + ycdot0 + zcdot1 = x + z, 2ª comp: xcdot1 + ycdot0 + zcdot(-1) = x - z, 3ª comp: xcdot0 + ycdot1 + zcdot6 = y + 6z ªªª

Resposta

T(x,y,z) = l(x + z,;x - z,;y + 6zr)

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