Dada a transformação linear T: R^3 R^3 tal que T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1) e T(0,0,1)=(1,-1,6).
Determine v in R^3 tal que T(v)=(1,-1,3).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3
definida pelos valores em cada vetor da base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(1,-1,6),
e pede para encontrar vinR^3 tal que
T(v)=(1,-1,3)
O conteúdo usado será a linearidade de T para expressar T(v) em função das coordenadas de v e montar um sistema linear.

Passo 2

Seja v=(x,y,z). Pela linearidade de T temos
T(v)=Tl(x,y,zr) =x,T(1,0,0)+y,T(0,1,0)+z,T(0,0,1)
Substituindo os valores dados,
T(v) =x,(1,1,0)+y,(0,0,1)+z,(1,-1,6) =(x+z,;x-z,;y+6z)

Passo 3

Queremos (x+z,;x-z,;y+6z)=(1,-1,3). Igualando coordenada a coordenada, obtemos o sistema
x+z=1, x-z=-1, y+6z=3

Passo 4

Para resolver o sistema, some as duas primeiras equações:
(x+z)+(x-z)=1+(-1);Longrightarrow;2x=0;Longrightarrow;x=0
Substituindo em x+z=1 0+z=1, logo z=1. Finalmente, da terceira equação
y+6z=3;Longrightarrow;y+6cdot1=3;Longrightarrow;y=3-6=-3

Resposta

v=(0,-3,1)

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