Resolva as seguintes congruências:
5 x equiv 3(bmod 24)

Passo 1

O enunciado pede resolver a congruência linear
5x equiv 3 pmod24
O conteúdo aqui é congruência linear: primeiro calculamos gcd(5,24), verificamos se divide o termo independente 3 e, em seguida, encontramos o inverso de 5 módulo 24.

Passo 2

Usamos o algoritmo de Euclides para calcular gcd(5,24):
24 = 5 cdot 4 + 4, 5 = 4 cdot 1 + 1, 4 = 1 cdot 4 + 0
Logo, gcd(5,24)=1. Como 1mid3, existe solução única módulo 24.

Passo 3

Para resolver a congruência, precisamos do inverso de 5 módulo 24, ou seja, um número y tal que
5y equiv 1 pmod24
Testando valores ou voltando no algoritmo de Euclides, vemos que
5cdot5 = 25 equiv 1 pmod24,
logo o inverso de 5 é 5.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da congruência original por esse inverso:
x equiv 5cdot3 = 15 pmod24

Resposta

x equiv 15 pmod24

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