Resolva as seguintes congruências:
3 x equiv 1(bmod 10)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
3x equiv 1 pmod10
Esse tipo de problema exige verificar se gcd(a,m)=1 para que o coeficiente a tenha inverso módulo m; se existir inverso, basta multiplicar ambos os lados da congruência por esse inverso para isolar x.

Passo 2

Calculemos o máximo divisor comum entre 3 e 10:
gcd(3,10)=1
Como gcd(3,10)=1, o número 3 é invertível no anel Z10 e a congruência possui solução única na classe módulo 10.

Passo 3

Para encontrar o inverso de 3 em Z10, buscamos um k tal que
3cdot k equiv 1 pmod10
Testando valores de k de 1 até 9, temos
3cdot1&equiv3pmod10, 3cdot2&equiv6pmod10, 3cdot3&equiv9pmod10, 3cdot4&equiv2pmod10, 3cdot5&equiv5pmod10, 3cdot6&equiv8pmod10, 3cdot7&equiv1pmod10
Logo, o inverso de 3 módulo 10 é k=7.

Passo 4

Multiplicamos a congruência original por 7, obtendo
7cdot(3x)equiv7cdot1pmod10
que simplifica para
xequiv7pmod10

Resposta

A solução geral da congruência é
xequiv7pmod10,
ou seja,
x=7+10k, kinZ

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