Determine se a transformação linear T é invertível considerando sua matriz em relação às bases canônicas. Se T é invertível, use o Teorema 3 e o método do Exemplo 7 para encontrar T^{-1}. T: \mathscr{P}_{2} \rightarrow \mathscr{P}_{2} definida por T(p(x))=p(x)+p^{\prime}(x)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: decidir se a transformação linear T:\mathscr{P}_2\to\mathscr{P}_2 dada por
T(p(x))=p(x)+p'(x)
é invertível; se for, encontrar T^{-1} usando o Teorema 3 e o método do Exemplo 7.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
T:\mathscr{P}_2\to\mathscr{P}_2,\qquad T(p)=p+p'.
A base canônica de \mathscr{P}_2 que usaremos é \{1,x,x^2\}. Nada mais foi pedido.
Passo 2
Vamos calcular a matriz de T em relação à base canônica \{1,x,x^2\}. Para isso aplicamos T aos vetores da base e escrevemos as imagens nas coordenadas da mesma base.
Calcule os derivados:
(1)'=0,\qquad (x)'=1,\qquad (x^2)'=2x.
Agora as imagens:
T(1)=1+0=1,
T(x)=x+1,
T(x^2)=x^2+2x.
Escrevendo cada imagem como combinação da base \{1,x,x^2\} obtemos as colunas da matriz A=[T]_{\text{can}}:
Para decidir invertibilidade calculamos o determinante de A. Observando que A é triangular superior, o determinante é o produto da diagonal:
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1=1\neq 0.
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível. Pelo Teorema 3 (que diz que T é inversível se, e somente se, sua matriz na base canônica é invertível, e que a matriz de T^{-1} é A^{-1}), concluímos que T é invertível. Agora precisamos encontrar T^{-1}.
Passo 4
Encontrando A^{-1}. Uma maneira prática aqui é escrever A=I+B com