Dada a transformação linear T: R^3 R^3 tal que T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1) e T(0,0,1)=(1,-1,6).
T admite inversa? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 definida pelos valores em cada vetor da base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(1,-1,6)
Para verificar se T admite inversa, basta ver se o determinante da matriz de T na base padrão é não nulo (o que garante bijetividade e, portanto, existência de inversa).

Passo 2

Montamos a matriz A de T em relação à base canônica, colocando como colunas as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1):
A= 1 & 0 & 1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 6

Passo 3

Calculamos det(A) por Sarrus ou expansão:
det(A) =1cdot0cdot6 + 0cdot(-1)cdot0 + 1cdot1cdot1 ;-;l(1cdot0cdot0 + 1cdot(-1)cdot1 + 0cdot1cdot6r) =1 - (-1)=2

Passo 4

Como det(A)=2neq0, a matriz A é invertível. Logo, a transformação linear T é bijetora e admite inversa.

Resposta

Sim, T admite inversa, pois o determinante da sua matriz é det(A)=2neq0.

Exercícios relacionados