Dada a transformação linear T: R^3 R^3 tal que T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1) e T(0,0,1)=(1,-1,6).
Determine o núcleo da transformação.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:R^3toR^3 definida pelas imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(1,1,0), T(0,1,0)=(0,0,1), T(0,0,1)=(1,-1,6)
Queremos encontrar o núcleo de T, ou seja, todos os vetores (x,y,z) tais que T(x,y,z)=(0,0,0). Vamos usar linearidade para escrever T(x,y,z) e depois resolver o sistema homogêneo.

Passo 2

Pela linearidade,
T(x,y,z)=x,T(1,0,0)+y,T(0,1,0)+z,T(0,0,1) =x(1,1,0)+y(0,0,1)+z(1,-1,6)

Passo 3

Somando coordenadas, obtemos
T(x,y,z)=(x+z,;x-z,;y+6z)

Passo 4

Para (x,y,z) no núcleo, impomos
x+z=0, x-z=0, y+6z=0
Das duas primeiras equações vem z=0 e x=0. Substituindo em y+6z=0 resulta y=0. Logo o único vetor que satisfaz é o vetor nulo.

Resposta

ker T=(0,0,0)

Exercícios relacionados