a) Mostre que o quadrado de qualquer número inteiro só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 4.
b) Use a) para mostrar que se x e y são inteiros então x^2+y^2 só pode ser congruente a 0,1 ou 2 módulo 4 .
c) Use b) para mostrar que um inteiro da forma 4 n+3 não pode ser escrito como a soma de dois inteiros ao quadrado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas envolvendo aritmética modular em módulo 4 e soma de quadrados:
– (a) mostrar que, para todo inteiro k, o quadrado k^2 é congruente a 0 ou a 1 módulo 4;
– (b) deduzir que, para inteiros x,y, a soma x^2+y^2 só pode ser congruente a 0,1 ou 2 módulo 4;
– (c) concluir que nenhum inteiro da forma 4n+3 pode ser escrito como soma de dois quadrados.
Conteúdo: congruências, classes residuais em bmod 4 e soma de quadrados.

Passo 2

Para (a) dividimos em casos segundo a paridade de k.
Se k é par, então existe inteiro m tal que
k = 2m
Logo
k^2 = (2m)^2 = 4m^2,
e portanto
k^2 equiv 0 pmod4
Se k é ímpar, então existe inteiro m tal que
k = 2m + 1
Nesse caso
k^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4(m^2+m) + 1,
logo
k^2 equiv 1 pmod4
Concluímos que todo quadrado inteiro só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 4.

Passo 3

Para (b), usamos o resultado de (a) nos dois termos x^2 e y^2. Cada um vale 0 ou 1 em bmod 4. Logo as oito combinações possíveis dão somente os somas:
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=2
em bmod 4. Assim
x^2 + y^2 equiv 0,1 ou 2 pmod4

Passo 4

Para (c), suponha contrariamente que um inteiro da forma 4n+3 seja x^2 + y^2. Então
x^2 + y^2 equiv 4n+3 equiv 3 pmod4
Mas pelo passo anterior não é possível que x^2+y^2 seja congruente a 3 em bmod 4. Temos uma contradição. Logo nenhum número 4n+3 pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Resposta

(a) Todo quadrado inteiro equiv 0 ou 1pmod4.
(b) Para x,yinZ, x^2+y^2equiv 0,1 ou 2pmod4.
(c) Um inteiro da forma 4n+3 não pode ser soma de dois quadrados.

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