a) Mostre que o quadrado de qualquer número inteiro só pode ser congruente a 0 ou 1 módulo 4.
b) Use a) para mostrar que se
e
são inteiros então
só pode ser congruente a 0,1 ou 2 módulo 4 .
c) Use b) para mostrar que um inteiro da forma
não pode ser escrito como a soma de dois inteiros ao quadrado.
b) Use a) para mostrar que se
c) Use b) para mostrar que um inteiro da forma
Passo 1
O enunciado pede três coisas envolvendo aritmética modular em módulo 4 e soma de quadrados:
– (a) mostrar que, para todo inteiro , o quadrado
é congruente a
ou a
módulo 4;
– (b) deduzir que, para inteiros , a soma
só pode ser congruente a
ou
módulo 4;
– (c) concluir que nenhum inteiro da forma pode ser escrito como soma de dois quadrados.
Conteúdo: congruências, classes residuais em e soma de quadrados.
– (a) mostrar que, para todo inteiro
– (b) deduzir que, para inteiros
– (c) concluir que nenhum inteiro da forma
Conteúdo: congruências, classes residuais em
Passo 2
Para (a) dividimos em casos segundo a paridade de
.
Se é par, então existe inteiro
tal que
Se
Logo
e portanto
Se
é ímpar, então existe inteiro
tal que
Nesse caso
logo
Concluímos que todo quadrado inteiro só pode ser congruente a
ou a
módulo 4.
Passo 3
Para (b), usamos o resultado de (a) nos dois termos
e
. Cada um vale
ou
em
. Logo as oito combinações possíveis dão somente os somas:
em
. Assim
Passo 4
Para (c), suponha contrariamente que um inteiro da forma
seja
. Então
Mas pelo passo anterior não é possível que
seja congruente a
em
. Temos uma contradição. Logo nenhum número
pode ser escrito como soma de dois quadrados.
Resposta
(a)
Todo quadrado inteiro
ou
.
(b) Para
,
ou
.
(c) Um inteiro da forma
não pode ser soma de dois quadrados.
(b)
(c)