Resolva o sistema de congruências lineares abaixo:
lx equiv 8(bmod 35) x equiv 3(bmod 10)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de congruências
x equiv 8 pmod35, x equiv 3 pmod10,
usando o Teorema Chinês do Resto em sua forma geral (quando os módulos não são necessariamente coprimos). Precisamos verificar a compatibilidade das congruências e, em seguida, encontrar a solução única módulo lcm(35,10).

Passo 2

Calcule o divisor comum dos módulos:
d = gcd(35,10) = 5
Para que haja solução, as constantes devem satisfazer
8 equiv 3 pmodd
Como 8 bmod 5 = 3 e 3 bmod 5 = 3, a condição de compatibilidade está satisfeita.

Passo 3

Escreva a primeira congruência em forma de equação:
x = 35k + 8, kinZ
Substitua essa expressão na segunda congruência:

Passo 4

Da segunda congruência:
35k + 8 equiv 3 pmod10
35k equiv 3 - 8 equiv -5 equiv 5 pmod10
Como 35 equiv 5 pmod10, obtemos
5k equiv 5 pmod10
Dividindo ambos os lados por 5 (já que gcd(5,10)=5), vem
k equiv 1 pmod2

Passo 5

Da congruência k equiv 1 pmod2 segue k = 2m + 1 com minZ. Logo
x = 35(2m+1) + 8 = 70m + 35 + 8 = 70m + 43
Isso mostra que as soluções são todas da forma
x equiv 43 pmod70

Resposta

A solução geral do sistema é
x equiv 43 pmod70

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