Resolva as seguintes congruências:
25 x equiv 15(bmod 120)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência linear
25x equiv 15 pmod120
Aqui o conteúdo é resolução de congruência do tipo axequiv bpmodn. Vamos usar o método padrão: calcular gcd(a,n), verificar divisibilidade, simplificar e, se possível, inverter modulo reduzido.

Passo 2

Calcular o máximo divisor comum entre 25 e 120:
gcd(25,120)=5

Passo 3

Verificar se gcd(25,120) divide o termo à direita 15. Como 5mid 15, a congruência tem solução e há exatamente 5 soluções distintas módulo 120.

Passo 4

Dividir toda a congruência por 5:
255x equiv 155pmod1205 Longrightarrow 5x equiv 3 pmod24

Passo 5

Agora resolvemos 5xequiv3pmod24. Como gcd(5,24)=1, 5 tem inverso módulo 24. Note que
5cdot 5 =25equiv1pmod24,
logo o inverso de 5 é 5 mesmo.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por esse inverso:
x equiv 5cdot 3 =15 pmod24

Passo 7

Isso significa que as soluções gerais da congruência original são
x = 15 + 24k,
onde k é um inteiro. Como estamos em módulo 120, basta tomar k=0,1,2,3,4 para listar as cinco soluções incongruentes.

Resposta

As soluções da congruência 25xequiv15pmod120 são
x equiv 15 pmod24,
ou, mais explicitamente,
x in ,15,,39,,63,,87,,111pmod120

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