Dada uma transformação linear T: R^2 R^3 tal que T(1,0) = (1,2,-1) e T(0,1)=(3,0,4) encontre T(a, b).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^2toR^3 e fornece as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0) = (1,2,-1), T(0,1) = (3,0,4)
Queremos achar a fórmula de T(a,b). Para isso vamos usar que uma transformação é linear, ou seja, que vale homogeneidade e aditividade.

Passo 2

Note que qualquer vetor (a,b)inR^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base canônica:
(a,b) = a,(1,0) ;+; b,(0,1)

Passo 3

Pela linearidade de T,
T(a,b) = Tl(a,(1,0) + b,(0,1)r) = a,T(1,0) ;+; b,T(0,1)
Substituindo os valores dados:

Passo 4

T(a,b) = a,(1,2,-1) ;+; b,(3,0,4) = (a + 3b,;2a + 0b,;-a + 4b) = (a + 3b,;2a,;-a + 4b)

Resposta

T(a,b) = (,a + 3b,;2a,;-a + 4b,).

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