Dada uma transformação linear T: R^2 P2(R) tal que T(1,0) = -2 x+1 e T(3,-1)=2 x^2+1 encontre T(a, b).

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2to P2(R) é linear, com
T(1,0) = -2x + 1,
T(3,-1) = 2x^2 + 1,
e pede T(a,b). Vamos usar que, por linearidade, para escrever (a,b) como combinação linear de (1,0) e (3,-1) e depois aplicar T.

Passo 2

Escrevemos
(a,b) = alpha,(1,0) + beta,(3,-1)
Isso gera o sistema
alpha + 3beta = a,
-beta = b
Da segunda equação vem beta = -b. Substituindo na primeira,
alpha = a - 3beta = a - 3(-b) = a + 3b

Passo 3

Pela linearidade,
T(a,b) = alpha,T(1,0) + beta,T(3,-1) = (a+3b),(-2x+1) + (-b),(2x^2+1)

Passo 4

Agora é só expandir e juntar termos semelhantes:
(a+3b)(-2x+1) = -2(a+3b),x + (a+3b),
-b,(2x^2+1) = -2b,x^2 - b
Somando:
T(a,b) = -2b,x^2 ;-;[2(a+3b)],x ;+;(a+3b - b)
E como a+3b - b = a + 2b, fica
T(a,b) = -2b,x^2 - (2a+6b),x + (a+2b)

Resposta

T(a,b) = -2b,x^2 ;-;(2a+6b),x ;+;(a+2b)

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