A reta contém os pontos e . Encontre:
Equações da reta, concorrente a , que contém a origem e é perpendicular a .
Passo 1
O enunciado dá a reta que passa por e
e pede a reta que contém a origem , que intersecta e é perpendicular a .
Conteúdo: geometria vetorial no espaço, projeção ortogonal de um ponto numa reta.
Passo 2
Para achar a reta em forma vetorial, calculamos seu vetor diretor
Passo 3
O ponto de interseção P entre s e r é o pé da perpendicular de O em r. Escrevemos
P = A + t,vec d
e impomos OPperp vec d, isto é
(P - O)cdot vec d = 0
Substituindo P=A+tvec d dá
(A + tvec d)cdot vec d = 0 Longrightarrow Acdotvec d + t,vec dcdotvec d = 0 Longrightarrow t = -Acdotvec dvec dcdotvec d
Passo 4
Calculamos
Acdotvec d = (3,-1,1)cdot(-2,-2,0) = -6 +2 +0 = -4, vec dcdotvec d = (-2)^2+(-2)^2+0^2 = 8,
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t = --48 = tfrac12
Então
P = A + tfrac12,vec d = (3,-1,1) + tfrac12,(-2,-2,0) = (2,-2,1)
Passo 5
A reta s passa por O e por P, logo seu vetor diretor é vec v = OP = (2,-2,1).
Em forma paramétrica:
s: (x,y,z) = t,(2,-2,1), tin R
Em forma simétrica:
x2 = y-2 = z1
Resposta
A reta concorrente a r, que contém a origem e é perpendicular a r, é