A reta r contém os pontos A=(3,-1,1) e B=(1,-3,1). Encontre:
Equações da reta, concorrente a r, que contém a origem e é perpendicular a r.

Passo 1

O enunciado dá a reta r que passa por
;A=(3,-1,1) e B=(1,-3,1)
e pede a reta s que contém a origem O=(0,0,0), que intersecta r e é perpendicular a r.
Conteúdo: geometria vetorial no espaço, projeção ortogonal de um ponto numa reta.

Passo 2

Para achar a reta r em forma vetorial, calculamos seu vetor diretor
vec d = AB = B - A = (1,-3,1) - (3,-1,1) = (-2,-2,0)

Passo 3

O ponto de interseção P entre s e r é o pé da perpendicular de O em r. Escrevemos
P = A + t,vec d
e impomos OPperp vec d, isto é
(P - O)cdot vec d = 0
Substituindo P=A+tvec d
(A + tvec d)cdot vec d = 0 Longrightarrow Acdotvec d + t,vec dcdotvec d = 0 Longrightarrow t = -Acdotvec dvec dcdotvec d

Passo 4

Calculamos
Acdotvec d = (3,-1,1)cdot(-2,-2,0) = -6 +2 +0 = -4, vec dcdotvec d = (-2)^2+(-2)^2+0^2 = 8,
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t = --48 = tfrac12
Então
P = A + tfrac12,vec d = (3,-1,1) + tfrac12,(-2,-2,0) = (2,-2,1)

Passo 5

A reta s passa por O e por P, logo seu vetor diretor é
vec v = OP = (2,-2,1).
Em forma paramétrica:
s: (x,y,z) = t,(2,-2,1), tin R
Em forma simétrica:
x2 = y-2 = z1

Resposta

A reta concorrente a r, que contém a origem e é perpendicular a r, é
(x,y,z) = t,(2,-2,1), tin R,
ou, equivalentemente,
x2 = y-2 = z1

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