Dada as transformações lineares a seguir, determine a imagem e seu posto.
T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,x - 3y + 5z,,-x + 4y - z,)
e pede (a) a imagem de T (subespaço de R^2) e (b) o posto de T. Vamos usar a representação matricial de T na base canônica, determinar as colunas que geram a imagem e calcular sua dimensão.

Passo 2

Escrevemos a matriz associada A de T em relação às bases canônicas de R^3 e R^2. Cada coluna de A é a imagem de um vetor da base de R^3:
A = 1 & -3 & 5 -1 & 4 & -1
onde
,v1 = (1,-1),
,v2 = (-3,4) e
,v3 = (5,-1) são as colunas de A.

Passo 3

A imagem de é o subespaço de gerado por , ou seja,

Passo 4

Para achar o posto, basta determinar a dimensão de . Podemos fazer redução de linha em :
Há pivôs em colunas 1 e 2, logo . Como , a imagem é todo .

Resposta

A imagem de é
e o posto de é .

Exercícios relacionados