Dada as transformações lineares a seguir, determine a imagem e seu posto.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede (a) a imagem de (subespaço de ) e (b) o posto de . Vamos usar a representação matricial de na base canônica, determinar as colunas que geram a imagem e calcular sua dimensão.
Passo 2
Escrevemos a matriz associada de em relação às bases canônicas de e . Cada coluna de é a imagem de um vetor da base de :
onde ,v1 = (1,-1), ,v2 = (-3,4) e ,v3 = (5,-1) são as colunas de A.
Passo 3
A imagem de é o subespaço de gerado por , ou seja,
Passo 4
Para achar o posto, basta determinar a dimensão de . Podemos fazer redução de linha em :
Há pivôs em colunas 1 e 2, logo . Como , a imagem é todo .