Dada as transformações lineares a seguir, determine o núcleo e sua nulidade.
T: R^2 longrightarrow R^3, T(x, y)=(0, x+y, 0)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T: R^2to R^3 dada por
T(x,y)=(0,;x+y,;0)
e pede o núcleo ker(T) e a nulidade de T. Vamos usar a definição
ker(T)=(x,y)in R^2mid T(x,y)=(0,0,0)
e depois contar o número de parâmetros livres para obter a nulidade.

Passo 2

Para achar ker(T) impomos
T(x,y)=(0,;x+y,;0)=(0,0,0),
o que gera a única condição
x+y=0

Passo 3

Da equação segue . Assim, qualquer vetor do núcleo pode ser escrito como
Seja . Então
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Passo 4

A nulidade de T é a dimensão de ker(T). Como o núcleo é gerado por um único vetor livre (1,-1), concluímos que
dim(ker(T))=1

Resposta


nulidade .

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