Dada as transformações lineares a seguir, determine o núcleo e sua nulidade.
T: R^3 longrightarrow R^2, T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 3 x+2 y+z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (x + 2y + 3z,;3x + 2y + z)
e pede o núcleo ker(T) e a nulidade dim(ker(T)). Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo T(x,y,z)=(0,0).

Passo 2

Por definição,
ker(T) = (x,y,z)inR^3 mid T(x,y,z)=(0,0)
Logo, devemos resolver o sistema
x + 2y + 3z = 0,
3x + 2y + z = 0

Passo 3

Para eliminar variáveis, multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos a segunda:
3(x + 2y + 3z) - (3x + 2y + z) = 0 ;Longrightarrow; 4y + 8z = 0 ;Longrightarrow; y = -2z
Substituindo y=-2z em x+2y+3z=0:
x + 2(-2z) + 3z = 0 ;Longrightarrow; x -4z + 3z = 0 ;Longrightarrow; x = z

Passo 4

Portanto todos os vetores do núcleo têm a forma
(x,y,z) = (z,,-2z,,z) = z,(1,-2,1), zinR
Assim,
ker(T) = span(1,-2,1),
e a nulidade é
dim(ker(T)) = 1

Resposta

ker(T)=span(1,-2,1),nulidade=1

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