Dada as transformações lineares a seguir, determine a imagem e seu posto.
T: R^2 longrightarrow R^3, T(x, y)=(x, 2 x+y, 0)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;Tcolon R^2toR^3,;T(x,y)=(x,2x+y,0).
Queremos determinar a imagem de T (que é um subespaço de R^3) e calcular o posto de T, que por definição é dim(Im(T)).

Passo 2

Aplicamos T aos vetores da base canônica de R^2:
T(1,0) = (1,2cdot1+0,0) = (1,2,0),
T(0,1) = (0,2cdot0+1,0) = (0,1,0)

Passo 3

Como é linear, sua imagem é o espaço gerado por esses vetores. Assim
que geometricamente é o plano em .

Passo 4

Verificamos a independência linear: se
alpha(1,2,0)+beta(0,1,0)=(0,0,0), então alpha=0 e 2alpha+beta=0impliesbeta=0.
Logo (1,2,0),(0,1,0) é LI e
dim(Im(T))=2. Portanto o posto de T é 2.

Resposta


o posto de é .

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