Dada as transformações lineares a seguir, determine o núcleo e sua nulidade.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x+y, 2 x-y)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação linear
Tcolon R^2 longrightarrow R^2, T(x,y) = (,x+y,;2x - y,)
e queremos determinar o núcleo de T (ou seja, o conjunto de vetores que vão para o vetor zero) e a nulidade (dimensão desse núcleo). Vamos usar a definição
ker(T) = (x,y)inR^2 mid T(x,y) = (0,0)
e depois calcular a dimensão desse espaço.

Passo 2

Escrevemos a condição T(x,y)=(0,0) como um sistema de equações lineares:
x + y = 0, 2x - y = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira equação temos y = -x. Substituindo na segunda:
2x - (-x) = 3x = 0
logo x=0 e então y=-0=0. Concluímos que o único vetor que satisfaz T(x,y)=(0,0) é (x,y)=(0,0). Assim,
ker(T) = (0,0)

Passo 4

A nulidade de T é a dimensão de ker(T). Como ker(T) contém apenas o vetor zero, sua dimensão é zero:
nulidade(T) = 0

Resposta

O núcleo de T é (0,0) e a nulidade de T é 0.

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