Dada as transformações lineares a seguir, determine o núcleo e sua nulidade.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a transformação linear
e queremos determinar o núcleo de (ou seja, o conjunto de vetores que vão para o vetor zero) e a nulidade (dimensão desse núcleo). Vamos usar a definição
e depois calcular a dimensão desse espaço.
Passo 2
Escrevemos a condição como um sistema de equações lineares:
Passo 3
Resolvendo o sistema, da primeira equação temos y = -x. Substituindo na segunda:
2x - (-x) = 3x = 0
logo x=0 e então y=-0=0. Concluímos que o único vetor que satisfaz T(x,y)=(0,0) é (x,y)=(0,0). Assim,
ker(T) = (0,0)
Passo 4
A nulidade de T é a dimensão de ker(T). Como ker(T) contém apenas o vetor zero, sua dimensão é zero: