Dada as transformações lineares a seguir, determine a imagem e seu posto.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(0, y, z) (projeção ortogonal do R^3 sobre o plano y 0 z )

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3to R^3, T(x,y,z)=(0,y,z)
O conteúdo é imagem (ou espaço coluna) de T e posto (rank) de T. Precisamos (1) descrever todos os vetores que aparecem como T(x,y,z) e (2) determinar a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Para todo (x,y,z)inR^3,
T(x,y,z)=(0,y,z)
Logo a imagem de T é
Im(T) =(0,y,z)mid yinR,,zinR =0timesRtimesR
Em palavras, é o plano x=0 (o “plano yz”).

Passo 3

Para ver o posto usamos que
Im(T) é gerado pelos vetores
e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
Como e2,e3 é base de Im(T),
rank(T) =dim(Im(T)) =2

Resposta

Imagem: Im(T)=(0,y,z)mid y,zinR.
Posto: rank(T)=2.

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