Seja T: R^3 longrightarrow R^3 uma transformação linear tal que T(x, y, z)=(x+2 y, y- z, x+2 z). Determine o ker(T) e a Im(T). T é injetiva? T é sobrejetiva?

Passo 1

O enunciado pede, para a transformação linear Tcolon R^3to R^3 dada por
T(x,y,z)=(x+2y,;y-z,;x+2z),
que a gente determine o núcleo ker(T), a imagem Im(T) e decida se T é injetiva e/ou sobrejetiva. Vamos usar álgebra linear básica: matriz da transformação, sistemas lineares para o núcleo e colunas para a imagem.

Passo 2

Representamos T na base canônica por uma matriz A, cujas colunas são as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1):
A = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2

Passo 3

Para achar ker(T), resolvemos A(x,y,z)^T=0, isto é,
x + 2y = 0,
y - z = 0,
x + 2z = 0
Da segunda equação vem z=y. Substituindo em x+2y=0 e em x+2z=0 dá a mesma equação x+2y=0. Logo
x=-2y, z=y,
com y livre. Assim
ker(T)=(-2y,y,y)mid yin R=span(-2,1,1)

Passo 4

Para Im(T), olhamos as colunas de A:
c1=(1,0,1), c2=(2,1,0), c3=(0,-1,2)
Podemos verificar que
c3 = 2,c1 - c2,
logo só precisamos de c1 e c2 como base. Portanto
Im(T)=span(1,0,1),,(2,1,0),
que tem dimensão 2.

Passo 5

Uma transformação linear é injetiva exatamente quando ker(T)=0. Aqui ker(T) tem dimensão 1, logo não é trivial, então T não é injetiva.
Ela é sobrejetiva se Im(T) tem dimensão igual a 3 (a dimensão do contradomínio). Como dimIm(T)=2<3, T não é sobrejetiva.

Resposta

ker(T)=span(-2,1,1) Im(T)=span(1,0,1),(2,1,0) T não é injetiva.
T não é sobrejetiva.

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