Seja uma transformação linear tal que . Determine o e a . é injetiva? é sobrejetiva?
Passo 1
O enunciado pede, para a transformação linear dada por
que a gente determine o núcleo , a imagem e decida se é injetiva e/ou sobrejetiva. Vamos usar álgebra linear básica: matriz da transformação, sistemas lineares para o núcleo e colunas para a imagem.
Passo 2
Representamos na base canônica por uma matriz , cujas colunas são as imagens de , e :
Passo 3
Para achar ker(T), resolvemos A(x,y,z)^T=0, isto é,
x + 2y = 0,
y - z = 0,
x + 2z = 0
Da segunda equação vem z=y. Substituindo em x+2y=0 e em x+2z=0 dá a mesma equação x+2y=0. Logo
x=-2y, z=y,
com y livre. Assim
ker(T)=(-2y,y,y)mid yin R=span(-2,1,1)
Passo 4
Para Im(T), olhamos as colunas de A:
c1=(1,0,1), c2=(2,1,0), c3=(0,-1,2)
Podemos verificar que
c3 = 2,c1 - c2,
logo só precisamos de c1 e c2 como base. Portanto
Im(T)=span(1,0,1),,(2,1,0),
que tem dimensão 2.
Passo 5
Uma transformação linear é injetiva exatamente quando ker(T)=0. Aqui ker(T) tem dimensão 1, logo não é trivial, então T não é injetiva.
Ela é sobrejetiva se Im(T) tem dimensão igual a 3 (a dimensão do contradomínio). Como dimIm(T)=2<3, T não é sobrejetiva.
Resposta
ker(T)=span(-2,1,1)Im(T)=span(1,0,1),(2,1,0)T não é injetiva. T não é sobrejetiva.