Seja T: M(2,2) longrightarrow R^4 dada por T(A)=(a+b, b+c, c, a+b+d), onde A=[lla & b c & d]. Sabendo que T é linear, mostre que T é uma aplicação bijetiva.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear
Precisaremos mostrar que é injetiva (ou que sua matriz tem determinante não nulo) e usar que domínio e contradomínio têm dimensão igual (ambos são espaços de dimensão 4) para concluir que é bijetiva.

Passo 2

Identificamos pela bijeção
Nessas coordenadas,

Passo 3

Para estudar a injetividade, calculamos o núcleo:
T(a,b,c,d)=(0,0,0,0) Long<=ftrightarrow a+b=0, b+c=0, c=0, a+b+d=0

Passo 4

Da terceira equação vem c=0.
Então a segunda dá b+0=0, logo b=0.
A primeira passa a ser a+0=0, logo a=0.
Por fim, a quarta fica 0+0+d=0, daí d=0.
Assim o único vetor no núcleo é (a,b,c,d)=(0,0,0,0), ou seja, ker T=0. Logo T é injetiva.

Passo 5

Como M(2,2) e R^4 têm ambas dimensão 4 e T é linear e injetiva, decorre que T é sobrejetiva e, portanto, bijetiva.

Resposta

T é bijetiva.

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