Seja dada por , onde . Sabendo que é linear, mostre que é uma aplicação bijetiva.
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
Precisaremos mostrar que é injetiva (ou que sua matriz tem determinante não nulo) e usar que domínio e contradomínio têm dimensão igual (ambos são espaços de dimensão 4) para concluir que é bijetiva.
Passo 2
Identificamos pela bijeção
Nessas coordenadas,
Passo 3
Para estudar a injetividade, calculamos o núcleo:
Passo 4
Da terceira equação vem c=0.
Então a segunda dá b+0=0, logo b=0.
A primeira passa a ser a+0=0, logo a=0.
Por fim, a quarta fica 0+0+d=0, daí d=0.
Assim o único vetor no núcleo é (a,b,c,d)=(0,0,0,0), ou seja, ker T=0. Logo T é injetiva.
Passo 5
Como M(2,2) e R^4 têm ambas dimensão 4 e T é linear e injetiva, decorre que T é sobrejetiva e, portanto, bijetiva.