Determine a expressão da transformação linear para cada um dos itens a seguir.
T: R^2 longrightarrow R^3, tal que T(1,2)=(3,-1,5) e T(0,1)=(2,1,-4)

Passo 1

O enunciado pede a fórmula de uma transformação linear
Tcolon R^2toR^3
sujeita a
T(1,2) = (3,-1,5), T(0,1) = (2,1,-4)
Para achar a expressão geral de T(x,y), vamos usar linearidade e determinar primeiro T(1,0) e depois escrever T(x,y)=x,T(1,0)+y,T(0,1).

Passo 2

Usando linearidade em (1,2)=(1,0)+2,(0,1), temos
T(1,2)=Tl((1,0)+2(0,1)r)=T(1,0)+2,T(0,1)
Sabemos que T(1,2)=(3,-1,5) e T(0,1)=(2,1,-4). Substituindo,
(3,-1,5)=T(1,0)+2,(2,1,-4)

Passo 3

Calculamos 2,T(0,1)=2,(2,1,-4)=(4,2,-8). Logo
T(1,0) = (3,-1,5) - (4,2,-8) = (-1,-3,13)

Passo 4

Agora que temos
T(1,0)=(-1,-3,13), T(0,1)=(2,1,-4),
pela linearidade para (x,y)=x(1,0)+y(0,1) vale
T(x,y)=x,T(1,0)+y,T(0,1)

Passo 5

Fazendo a combinação,
T(x,y)=x,(-1,-3,13)+y,(2,1,-4) =(-x+2y,,-3x+y,;13x-4y)

Resposta

T(x,y)=(-x+2y,,-3x+y,;13x-4y)

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