Se X1, X2, X3, X4 são variáveis aleatórias não correlacionadas (por pares), cada uma com média 0 e variância 1 , calcule as correlações de
a) U=X1+X2 e W=X3+X4
b) U=X1+X2 eV =X2+X3

Passo 1

Resumo do enunciado: temos quatro variáveis aleatórias X1,X2,X3,X4 não correlacionadas par a par, cada uma com média zero e variância 1. Precisamos calcular a correlação entre combinações lineares dessas variáveis. Para isso usamos a definição de correlação:
rhoU,V=Cov(U,V)raizVar(U),Var(V)

Passo 2

Para o item (a), definimos U=X1+X2 e W=X3+X4. Como a covariância de uma soma com outra soma é a soma das covariâncias, e todos os pares (Xi,Xj) são não correlacionados (ou seja, Cov(Xi,Xj)=0 para ineq j), temos:
Cov(U,W)=Cov(X1+X2,,X3+X4)=sumi=1^2sumj=3^4Cov(Xi,Xj)=0
Como Var(U)=2 e Var(W)=2, a correlação fica:
rhoU,W=0raiz2cdot2=0

Passo 3

Para o item (b), definimos U=X1+X2 e V=X2+X3. Calculamos a covariância:
Cov(U,V)=Cov(X1+X2,,X2+X3) =Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)+Cov(X2,X2)+Cov(X2,X3) =0+0+1+0=1
Também temos Var(U)=2 e Var(V)=2, logo:
rhoU,V=1raiz2cdot2=12

Resposta

a) 0
b) 1/2

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