Dada a variável aleatória
, uniforme em
, calcule as probabilidades abaixo:
b)
b)
Passo 1
Vamos lá! Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição uniforme no intervalo $ (5,10) $. Nosso objetivo é calcular a probabilidade $ P(8 < X < 9) $. Para isso, vamos usar os conceitos de distribuição uniforme e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Em uma distribuição uniforme contínua no intervalo $ (a, b) $, todas as partes iguais do intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. Isso significa que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) é constante ao longo desse intervalo.
Passo 3
A fórmula da função densidade de probabilidade para uma distribuição uniforme é:
No nosso caso, $ a = 5 $ e $ b = 10 $, então:
Passo 4
Para encontrar a probabilidade $ P(8 < X < 9) $, vamos calcular a área sob a f.d.p. entre $ x = 8 $ e $ x = 9 $. Como a f.d.p. é constante, a probabilidade é igual à largura do intervalo multiplicada pelo valor da f.d.p.
Passo 5
A largura do intervalo $ (8,9) $ é $ 9 - 8 = 1 $. Então, a probabilidade é:
Resposta
A probabilidade $ P(8 < X < 9) $ é igual a $ \frac{1}{5} $ ou 0,2.