A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por
f(x)= k x & se 0 <= x <= 2 0 & caso contrário á
c) Encontre a média e o desvio padrão da variável X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre média e desvio padrão de uma variável aleatória contínua. A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
f(x)= k x & se 0 <= x <= 2 0 & caso contrário á
O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor de k que torna essa função uma distribuição de probabilidade válida e, com isso, calcular a média e o desvio padrão da variável X.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o valor de k. Para isso, lembramos que a integral da função de densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Ou seja:
integral-infty^infty f(x) , dx = 1
No nosso caso, f(x) é diferente de zero apenas entre 0 e 2. Então, a integral fica:
integral0^2 kx , dx = 1
Vamos resolver essa integral:
k integral0^2 x , dx = 1 k [ x^22 ]0^2 = 1 k ( 2^22 - 0 ) = 1 k ( 42 ) = 1 k times 2 = 1 k = 12
Então, o valor de k é 12.

Passo 3

Agora que temos o valor de k, vamos calcular a média (ou valor esperado) da variável X. A fórmula para a média é:
E[X] = integral-infty^infty x f(x) , dx
Novamente, como f(x) é diferente de zero apenas entre 0 e 2:
E[X] = integral0^2 x cdot 12x , dx = 12 integral0^2 x^2 , dx
Resolvendo a integral:
12 [ x^33 ]0^2 = 12 ( 83 - 0 ) = 12 times 83 = 43
Então, a média de X é 43.

Passo 4

Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos encontrar a variância. A variância é dada por:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2
Vamos calcular E[X^2]:
E[X^2] = integral0^2 x^2 cdot 12x , dx = 12 integral0^2 x^3 , dx
Resolvendo a integral:
12 [ x^44 ]0^2 = 12 ( 164 - 0 ) = 12 times 4 = 2
Agora, calculamos a variância:
Var(X) = 2 - (43)^2 = 2 - 169 = 189 - 169 = 29
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
sigmaX = raizVar(X) = raiz29 = raiz23

Resposta

A média da variável X é 43 e o desvio padrão é raiz23.

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