A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por
c) Encontre a média e o desvio padrão da variável
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre média e desvio padrão de uma variável aleatória contínua. A gente tem uma função de densidade de probabilidade dada por:
O que precisamos fazer aqui é encontrar o valor de
que torna essa função uma distribuição de probabilidade válida e, com isso, calcular a média e o desvio padrão da variável
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o valor de
. Para isso, lembramos que a integral da função de densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso,
é diferente de zero apenas entre 0 e 2. Então, a integral fica:
Vamos resolver essa integral:
Então, o valor de
é
.
Passo 3
Agora que temos o valor de
, vamos calcular a média (ou valor esperado) da variável
. A fórmula para a média é:
Novamente, como
é diferente de zero apenas entre 0 e 2:
Resolvendo a integral:
Então, a média de
é
.
Passo 4
Para encontrar o desvio padrão, primeiro precisamos encontrar a variância. A variância é dada por:
Vamos calcular
:
Resolvendo a integral:
Agora, calculamos a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A média da variável
é
e o desvio padrão é
.