Uma variável aleatória discreta X possui a seguinte distribuição de probabilidade:
X 2 3 4 5 6
P(X=xi) 0,15 0,30 0,25 tildep 2 tildep
b) Determine a função de distribuição acumulada e esboce o seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta $ X $ com uma tabela de probabilidades, mas tem umas probabilidades representadas por $ \tilde{p} $ e $ 2\tilde{p} $. Nosso objetivo aqui é determinar a função de distribuição acumulada (FDA) dessa variável e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender como somar as probabilidades e como construir a FDA passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ \tilde{p} $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades de uma distribuição discreta deve ser igual a 1. Então, temos:
tildep
Somando os termos conhecidos:
0,15 + 0,30 + 0,25 + tildep + 2tildep = 1
Então:
0,15 + 0,30 + 0,25 = 0,70
Agora sabemos que $ \tilde{p} = 0,10 $. Portanto, as probabilidades ficam assim:
0,70 + 3tildep = 1 implies 3tildep = 0,30 implies tildep = 0,10

Passo 3

Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por $ F(x) $, é a soma das probabilidades de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Ou seja, para cada valor de $ X $, $ F(x) $ é a soma das probabilidades até aquele ponto.
Vamos calcular $ F(x) $ para cada valor de $ X $:
  • Para $ X = 2 $:
F(x)
  • Para $ X = 3 $:
X
  • Para $ X = 4 $:
X
  • Para $ X = 5 $:
F(x)
  • Para $ X = 6 $:
F(x)

Passo 4

Agora que temos todos os valores de $ F(x) $, podemos listar a função de distribuição acumulada completa:
F(x)

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da FDA. No gráfico, $ x $ estará no eixo horizontal e $ F(x) $ no eixo vertical. Para cada valor de $ x $, colocamos um ponto na coordenada correspondente a $ (x, F(x)) $. Como a FDA é uma função crescente e em saltos, ligaremos os pontos com linhas horizontais até a próxima mudança.
O gráfico ficará assim:
  • Começa em $ x = 2 $ com $ F(x) = 0,15 $.
  • Salta para $ F(x) = 0,45 $ em $ x = 3 $.
  • Depois para $ F(x) = 0,70 $ em $ x = 4 $.
  • Continua para $ F(x) = 0,80 $ em $ x = 5 $.
  • E finalmente alcança $ F(x) = 1,00 $ em $ x = 6 $.
Esse tipo de gráfico se parece com uma escada, subindo de passo em passo conforme aumentamos o valor de $ x $.

Resposta

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ para a variável aleatória $ X $ é:
F(x)
O gráfico da FDA apresenta saltos nos pontos $ x = 2, 3, 4, 5 $ e $ 6 $, formando uma escada crescente até alcançar 1.

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