Uma variável aleatória discreta
possui a seguinte distribuição de probabilidade:
|
2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,15 | 0,30 | 0,25 |
|
|
b) Determine a função de distribuição acumulada e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta $ X $ com uma tabela de probabilidades, mas tem umas probabilidades representadas por $ \tilde{p} $ e $ 2\tilde{p} $. Nosso objetivo aqui é determinar a função de distribuição acumulada (FDA) dessa variável e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender como somar as probabilidades e como construir a FDA passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ \tilde{p} $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades de uma distribuição discreta deve ser igual a 1. Então, temos:
Somando os termos conhecidos:
Então:
Agora sabemos que $ \tilde{p} = 0,10 $. Portanto, as probabilidades ficam assim:
Passo 3
Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, denotada por $ F(x) $, é a soma das probabilidades de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Ou seja, para cada valor de $ X $, $ F(x) $ é a soma das probabilidades até aquele ponto.
Vamos calcular $ F(x) $ para cada valor de $ X $:
- Para $ X = 2 $:
- Para $ X = 3 $:
- Para $ X = 4 $:
- Para $ X = 5 $:
- Para $ X = 6 $:
Passo 4
Agora que temos todos os valores de $ F(x) $, podemos listar a função de distribuição acumulada completa:
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da FDA. No gráfico, $ x $ estará no eixo horizontal e $ F(x) $ no eixo vertical. Para cada valor de $ x $, colocamos um ponto na coordenada correspondente a $ (x, F(x)) $. Como a FDA é uma função crescente e em saltos, ligaremos os pontos com linhas horizontais até a próxima mudança.
O gráfico ficará assim:
- Começa em $ x = 2 $ com $ F(x) = 0,15 $.
- Salta para $ F(x) = 0,45 $ em $ x = 3 $.
- Depois para $ F(x) = 0,70 $ em $ x = 4 $.
- Continua para $ F(x) = 0,80 $ em $ x = 5 $.
- E finalmente alcança $ F(x) = 1,00 $ em $ x = 6 $.
Esse tipo de gráfico se parece com uma escada, subindo de passo em passo conforme aumentamos o valor de $ x $.
Resposta
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ para a variável aleatória $ X $ é:
O gráfico da FDA apresenta saltos nos pontos $ x = 2, 3, 4, 5 $ e $ 6 $, formando uma escada crescente até alcançar 1.