A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por
a) Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente está lidando com uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ para uma variável aleatória contínua $ X $. O exercício nos dá essa função específica:
Nosso objetivo é determinar o valor de $ k $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de que a integral da função densidade de probabilidade sobre todo o seu domínio é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer função densidade de probabilidade válida, a soma (ou, no caso contínuo, a integral) de todas as probabilidades possíveis deve ser 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ fora do intervalo de 0 a 2, podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ k x $ em relação a $ x $ é:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida de 0 a 2.
Passo 4
Aplicando os limites de 0 a 2 na integral, temos:
Então, a equação fica:
Para encontrar $ k $, só precisamos isolar ele:
Resposta
O valor de $ k $ é $ \frac{1}{2} $.