A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por
f(x)= k x & se 0 <= x <= 2 0 & caso contrário á
a) Determine k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente está lidando com uma função densidade de probabilidade $ f(x) $ para uma variável aleatória contínua $ X $. O exercício nos dá essa função específica:
f(x) á
Nosso objetivo é determinar o valor de $ k $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de que a integral da função densidade de probabilidade sobre todo o seu domínio é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer função densidade de probabilidade válida, a soma (ou, no caso contínuo, a integral) de todas as probabilidades possíveis deve ser 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
integral-infty^+infty f(x) , dx = 1
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ fora do intervalo de 0 a 2, podemos simplificar a integral para:
f(x) = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de $ k x $ em relação a $ x $ é:
k x
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida de 0 a 2.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 2 na integral, temos:
k cdot [ 2^22 - 0^22 ] = k cdot [ 42 - 0 ] = k cdot 2
Então, a equação fica:
k cdot 2 = 1
Para encontrar $ k $, só precisamos isolar ele:
k

Resposta

O valor de $ k $ é $ \frac{1}{2} $.

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