Dada \r \vec{r}(t)=\left(\frac{t}{1+t^{2}}, \frac{1}{1+t^{2}}\right)\r, calcule \r \lim _{t \rightarrow \infty} \vec{r}(t)\r.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr) com
x(t)=\frac{t}{1+t^{2}},\quad y(t)=\frac{1}{1+t^{2}},
e pede \displaystyle \lim_{t\to\infty}\vec{r}(t). O conteúdo é limite de função vetorial, que se resolve componente a componente.

Passo 2

Lembre que
\lim_{t\to\infty}\vec{r}(t) =\Bigl(\lim_{t\to\infty}x(t),\;\lim_{t\to\infty}y(t)\Bigr).
Então basta calcular separadamente os limites de x(t) e de y(t).

Passo 3

Para a primeira componente
x(t)=\frac{t}{1+t^{2}},
dividimos numerador e denominador por t^{2}:
\frac{t}{1+t^{2}} = \frac{\tfrac{t}{t^{2}}}{\tfrac{1}{t^{2}}+1} = \frac{\tfrac{1}{t}}{1+\tfrac{1}{t^{2}}}.
Como \tfrac{1}{t}\to 0 e \tfrac{1}{t^{2}}\to 0 quando t\to\infty, segue
\lim_{t\to\infty}x(t)=0.

Passo 4

Para a segunda componente
y(t)=\frac{1}{1+t^{2}},
como t^{2} cresce sem limite, fica claro que
\lim_{t\to\infty}y(t)=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty}\vec{r}(t)=(0,0).

Exercícios relacionados