Seja \r \vec{r}(t)=\left(\frac{1}{t}, \frac{1}{t^{2}}\right)\r para \r t>0\r. O limite \r \lim _{t \rightarrow \infty} \vec{r}(t)\r existe? Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá a função vetor \displaystyle \vec r(t)=\bigl(\tfrac1t,\tfrac1{t^2}\bigr)
definida para t>0, e pede o limite \displaystyle \lim_{t\to\infty}\vec r(t)
além de uma interpretação geométrica. Vamos usar a propriedade de que o limite de um vetor é o vetor dos limites de cada componente.

Passo 2

Calculamos componente a componente:
\lim_{t\to\infty}\frac1t=0, \qquad \lim_{t\to\infty}\frac1{t^2}=0.
Logo, juntando numa só expressão,
\lim_{t\to\infty}\vec r(t) =\Bigl(\lim_{t\to\infty}\tfrac1t,\;\lim_{t\to\infty}\tfrac1{t^2}\Bigr) =(0,0).

Passo 3

Geometricamente, o traçado da curva é dado por
x=\tfrac1t,\quad y=\tfrac1{t^2},
que satisfaz y=x^2 no primeiro quadrante. À medida que t\to\infty, temos x\to0^+ e y\to0^+, de modo que o ponto percorre a parábola y=x^2 aproximando-se cada vez mais da origem. Assim, o vetor posição tende ao ponto (0,0).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty}\vec r(t)=(0,0).

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