Seja \r \vec{r}(t)=\left(\ln (t), t^{2}\right)\r com domínio \r (0, \infty)\r. A função é contínua em \r t=1\r ? E em \r t \rightarrow 0^{+}\r?

Passo 1

O enunciado fornece a função vetor \vec r(t) = \bigl(\ln(t),\,t^2\bigr)
com domínio (0,\infty) e pergunta se ela é contínua em t=1 e se é contínua quando t\to0^+. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, que se verifica componente a componente por meio de limites.

Passo 2

Definição de continuidade para função vetor: \vec r é contínua em t_0 se
\lim_{t\to t_0}\vec r(t)=\vec r(t_0),
ou seja, se cada componente tem limite finito em t_0 igual ao valor da componente em t_0. No caso de limite em extremidade do domínio (aqui t\to0^+), exigimos que as componentes tenham limite finito.

Passo 3

Analisando t=1: \ln(t) é contínua em t=1 e t^2 é contínua em todo \R. Logo,
\lim_{t\to1}\vec r(t) =\Bigl(\lim_{t\to1}\ln(t),\,\lim_{t\to1}t^2\Bigr) =(\ln(1),\,1^2)=(0,\,1) =\vec r(1).
Portanto, \vec r é contínua em t=1.

Passo 4

Analisando t\to0^+:
\lim_{t\to0^+}\ln(t)=-\infty, \qquad \lim_{t\to0^+}t^2=0.
Como a primeira componente diverge para -\infty, não existe limite finito de \vec r(t) em t\to0^+. Logo, não se pode estender a continuidade até 0.

Resposta

Em t=1: sim, \vec r é contínua.
Em t\to0^+: não, pois \ln(t)\to-\infty impede um limite finito.

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