Seja \r
\r com domínio \r
\r. A função é contínua em \r
\r ? E em \r
\r?
Passo 1
O enunciado fornece a função vetor
com domínio e pergunta se ela é contínua em
e se é contínua quando
. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, que se verifica componente a componente por meio de limites.
com domínio
Passo 2
Definição de continuidade para função vetor:
é contínua em
se
ou seja, se cada componente tem limite finito em
igual ao valor da componente em
. No caso de limite em extremidade do domínio (aqui
), exigimos que as componentes tenham limite finito.
Passo 3
Analisando
:
é contínua em
e
é contínua em todo
. Logo,
Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Analisando
:
Como a primeira componente diverge para
, não existe limite finito de
em
. Logo, não se pode estender a continuidade até
.
Resposta
Em
: sim,
é contínua.
Em : não, pois
impede um limite finito.
Em