Os problemas 20 a 22 se referem às bases do \mathbb{R}^{2} : \mathrm{A}=\{(2,-1),(-1,1)\}, \quad \mathrm{B}=\{(1,0),(2,1)\}, \quad \mathrm{D}=\{(1,1),(1,-1)\} \mathrm{e}
\mathrm{G}=\{(-1,-3),(3,5)\}.
Calcular v_{\mathrm{G}} sabendo que v_{\mathrm{D}}=(2,3)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um vetor v\in\mathbb{R}^2 cujas coordenadas na base
D = \{(1,1),\,(1,-1)\}
são
v_{D} = (2,3).
O objetivo é encontrar as coordenadas de v na base
G = \{(-1,-3),\,(3,5)\}.
Para isso, primeiro vamos reconstituir v em coordenadas padrão e depois projetá-lo em G.
Passo 2
Convertendo v para a base canônica: como
v = 2\,(1,1) + 3\,(1,-1),
temos
v = (2+3,\;2-3) = (5,-1).
Passo 3
Agora buscamos escalares a,b tais que
a\,(-1,-3) + b\,(3,5) \;=\;(5,-1).
Escrevendo componente a componente, montamos o sistema