Os problemas 20 a 22 se referem às bases do
\mathbb{R}^{2} :
\mathrm{A}=\{(2,-1),(-1,1)\}, \quad \mathrm{B}=\{(1,0),(2,1)\}, \quad \mathrm{D}=\{(1,1),(1,-1)\} \mathrm{e} \mathrm{G}=\{(-1,-3),(3,5)\}.
Calcular
v_{\mathrm{G}} sabendo que
v_{\mathrm{D}}=(2,3)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um vetor v\in\mathbb{R}^2 cujas coordenadas na base
D = \{(1,1),\,(1,-1)\}
são
v_{D} = (2,3).
O objetivo é encontrar as coordenadas de v na base
G = \{(-1,-3),\,(3,5)\}.
Para isso, primeiro vamos reconstituir v em coordenadas padrão e depois projetá-lo em G.

Passo 2

Convertendo v para a base canônica: como
v = 2\,(1,1) + 3\,(1,-1),
temos
v = (2+3,\;2-3) = (5,-1).

Passo 3

Agora buscamos escalares a,b tais que
a\,(-1,-3) + b\,(3,5) \;=\;(5,-1).
Escrevendo componente a componente, montamos o sistema
\begin{cases} -\,a \;+\;3\,b = 5,\\\\ -\,3\,a + 5\,b = -1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema: multiplicando a primeira equação por 3,
-3a + 9b = 15,
e subtraindo a segunda equação,
(-3a+9b) -(-3a+5b) = 15 -(-1) \quad\Longrightarrow\quad 4b = 16 \quad\Longrightarrow\quad b = 4.
Substituindo em -a + 3b = 5,
-\,a + 3\cdot4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad -\,a +12 =5 \quad\Longrightarrow\quad a = 7.

Resposta

(7,4)

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