Nos exercícios 18 a 22, determinar as derivadas parciais
\frac{\partial z}{\partial x}
e
\frac{\partial z}{\partial y}
.
z=u v^{2}+v \ln u, u=2 x-y, v=2 x+y.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.
As informações dadas são:
z = u v^{2} + v \ln u,
u = 2x - y,
v = 2x + y.
Não vou resolver nada ainda — só recoloquei o que foi pedido e o que é fornecido para ficar claro.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. Aqui z é função de u e v, e u e v são funções de x e y. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Explico rapidinho: \frac{\partial z}{\partial u} é a variação de z quando u varia (mantendo v fixo), e depois multiplicamos por quanto u varia quando x (ou y) varia; somamos depois o efeito pela variação de v.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de z em relação a u e v, tratando a outra variável como constante.
Temos z = u v^{2} + v \ln u.
Derivando em relação a u (mantendo v constante):
  • A derivada de u v^{2} em relação a u é v^{2} (pois v^{2} é constante aqui).
  • A derivada de v \ln u em relação a u é v \cdot \frac{1}{u} (pois v é constante e \frac{d}{du}\ln u = \frac{1}{u}).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial u} = v^{2} + \frac{v}{u}.
Agora derivando z em relação a v (mantendo u constante):
  • A derivada de u v^{2} em relação a v é 2 u v (regra potência: d(v^2)/dv = 2v, multiplicada por u constante).
  • A derivada de v \ln u em relação a v é \ln u (pois \ln u é constante aqui e derivada de v é 1).
Portanto
\frac{\partial z}{\partial v} = 2 u v + \ln u.

Passo 4

Calculemos agora as derivadas parciais de u e v em relação a x e y.
Dado u = 2x - y:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2,\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -1.
Dado v = 2x + y:
\frac{\partial v}{\partial x} = 2,\qquad \frac{\partial v}{\partial y} = 1.

Passo 5

Agora montamos \frac{\partial z}{\partial x} usando a regra da cadeia com os resultados encontrados:
\frac{\partial z}{\partial x} = \left(v^{2}+\frac{v}{u}\right)\cdot 2 + \left(2 u v + \ln u\right)\cdot 2.
Colocando em uma única expressão:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2\left(v^{2}+\frac{v}{u}\right) + 2\left(2 u v + \ln u\right).

Passo 6

Podemos organizar a expressão e simplificar os fatores comuns:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2v^{2} + \frac{2v}{u} + 4 u v + 2\ln u.
Agora substituímos u=2x-y e v=2x+y para escrever o resultado em termos de x e y:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2(2x+y)^{2} + \frac{2(2x+y)}{2x-y} + 4(2x-y)(2x+y) + 2\ln(2x-y).

Passo 7

Fazendo as simplificações algébricas das partes polinomiais (para facilitar cálculo sem calculadora, mostro os passos):
Calcule 2(2x+y)^{2} + 4(2x-y)(2x+y).
Primeiro (2x+y)^{2} = 4x^{2} + 4xy + y^{2}, então
2(2x+y)^{2} = 8x^{2} + 8xy + 2y^{2}.
Segundo (2x-y)(2x+y) = 4x^{2} - y^{2}, então
4(2x-y)(2x+y) = 16x^{2} - 4y^{2}.
Somando:
8x^{2} + 8xy + 2y^{2} + 16x^{2} - 4y^{2} = 24x^{2} + 8xy - 2y^{2}.
Portanto, a parte polinomial junta vira 24x^{2} + 8xy - 2y^{2}. Mantemos também as outras parcelas já encontradas:
\frac{\partial z}{\partial x} = 24x^{2} + 8xy - 2y^{2} + \frac{2(2x+y)}{2x-y} + 2\ln(2x-y).

Passo 8

Agora calculemos \frac{\partial z}{\partial y} com a mesma regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo os valores já encontrados ( \frac{\partial z}{\partial u}=v^{2}+\frac{v}{u}, \frac{\partial z}{\partial v}=2 u v + \ln u, \frac{\partial u}{\partial y}=-1, \frac{\partial v}{\partial y}=1):
\frac{\partial z}{\partial y} = \left(v^{2}+\frac{v}{u}\right)(-1) + \left(2 u v + \ln u\right)(1).
Ou seja
\frac{\partial z}{\partial y} = 2 u v + \ln u - v^{2} - \frac{v}{u}.

Passo 9

Substituímos u=2x-y e v=2x+y e, se quiser, simplificamos a parte polinomial:
A parte polinomial 2uv - v^{2} pode ser escrita como v(2u - v). Calcule 2u - v:
2u - v = 2(2x-y) - (2x+y) = 4x - 2y - 2x - y = 2x - 3y.
Então
v(2u - v) = (2x+y)(2x-3y) = 4x^{2} - 4xy - 3y^{2}.
Portanto a expressão completa é
\frac{\partial z}{\partial y} = 4x^{2} - 4xy - 3y^{2} + \ln(2x-y) - \frac{2x+y}{2x-y}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = 24x^{2} + 8xy - 2y^{2} + \frac{2(2x+y)}{2x-y} + 2\ln(2x-y)
\frac{\partial z}{\partial y} = 4x^{2} - 4xy - 3y^{2} + \ln(2x-y) - \frac{2x+y}{2x-y}

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