Nos exercícios 18 a 22, determinar as derivadas parciais
e
.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais
e
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Não vou resolver nada ainda — só recoloquei o que foi pedido e o que é fornecido para ficar claro.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas. Aqui
é função de
e
, e
e
são funções de
e
. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que:
Explico rapidinho:
é a variação de
quando
varia (mantendo
fixo), e depois multiplicamos por quanto
varia quando
(ou
) varia; somamos depois o efeito pela variação de
.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
em relação a
e
, tratando a outra variável como constante.
Temos
.
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
- A derivada de
em relação a é (pois é constante aqui). - A derivada de
em relação a é (pois é constante e ).
Portanto
Agora derivando
em relação a
(mantendo
constante):
- A derivada de
em relação a é (regra potência: , multiplicada por constante). - A derivada de
em relação a é (pois é constante aqui e derivada de é 1).
Portanto
Passo 4
Calculemos agora as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Dado
:
Dado
:
Passo 5
Agora montamos
usando a regra da cadeia com os resultados encontrados:
Colocando em uma única expressão:
Passo 6
Podemos organizar a expressão e simplificar os fatores comuns:
Agora substituímos
e
para escrever o resultado em termos de
e
:
Passo 7
Fazendo as simplificações algébricas das partes polinomiais (para facilitar cálculo sem calculadora, mostro os passos):
Calcule .
Calcule
Primeiro
, então
Segundo
, então
Somando:
Portanto, a parte polinomial junta vira
. Mantemos também as outras parcelas já encontradas:
Passo 8
Agora calculemos
com a mesma regra da cadeia:
Substituindo os valores já encontrados (
,
,
,
):
Ou seja
Passo 9
Substituímos
e
e, se quiser, simplificamos a parte polinomial:
A parte polinomial
pode ser escrita como
. Calcule
:
Então
Portanto a expressão completa é