Para encontrar \ker(T) precisamos resolver o sistema linear obtido ao igualar cada componente de T(x,y,z) a zero. Isso é direto e não exige teoria complicada: basta resolver as três equações simultâneas.
Passo 3
Escrevendo o sistema T(x,y,z)=(0,0,0). Peguei as equações da definição de T:
Conclusão sobre o núcleo (mini-interpretacão): como o único vetor que vai para zero é o vetor nulo, o núcleo é trivial:
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Lembrete importante e útil: para uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, se o núcleo é apenas \{0\} então a transformação é injetora; em \mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 injetora implica bijetora (logo invertível). Mas vou também confirmar calculando a matriz e o determinante — isso dá uma verificação direta.
Passo 8
Matriz de T na base canônica (mini-aula): para a base canônica, a matriz A de T tem em cada linha os coeficientes que formam a respectiva componente de saída. Dos termos em x,y,z nas componentes de T (peguei esses coeficientes da definição de T) obtemos
Determinante da matriz A (mini-aula): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vou calcular \det(A) por expansão na primeira linha (cada etapa here é uma conta elementar que dá para fazer sem calculadora):
Interpretação do determinante: como \det(A)=8\neq0, a matriz A é invertível e portanto a transformação linear T é invertível. Isso confirma o que vimos pelo núcleo trivial. Próximo passo: encontrar explicitamente a inversa T^{-1}.
Passo 11
Método escolhido para achar T^{-1} (mini-explicação): em vez de calcular a adjunta e dividir por \det (que é um pouco mais trabalhoso em contas de papel), vou resolver o sistema linear
T(x,y,z)=(u,v,w)
para x,y,z em função de u,v,w. Esse método é direto e prático: substituímos as componentes e isolamos as variáveis. Aqui (u,v,w) representa um vetor qualquer da imagem (coordenadas de saída). No final podemos renomear as variáveis se preferir.
Passo 12
Escrevendo as equações de T(x,y,z)=(u,v,w). Peguei as expressões originais de T e as igualei a u,v,w:
\begin{cases} u = x+2y-2z,\\[4pt] v = x+2y+2z,\\[4pt] w = x - z. \end{cases}]
Passo 13
Resolver para z primeiro: subtraindo a primeira equação da segunda (peguei estas equações da etapa anterior) obtemos
Isso define a transformação inversa T^{-1}:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 que leva (u,v,w) em (x,y,z) conforme as fórmulas acima.
Passo 17
Verificação rápida (opcional, para confiança): se aplicarmos T ao vetor \big(\dfrac{4w+v-u}{4},\dfrac{3u+v-4w}{8},\dfrac{v-u}{4}\big) devemos recuperar (u,v,w). Pode-se verificar componente a componente (é só substituir e simplificar); como já confirmamos \det(A)=8\neq0 e resolvemos sistematicamente, a fórmula está correta.