Questāo 2 ( 7 pts) Seja a tranformaçāo lincar T: \mathbf{R}^{3} \longrightarrow \mathbf{R}^{3} dada por
T(x, y, z)=(x+2 y-2 z, x+2 y+2 z, x-z)
a) (2 pts)Determine o núcleo da T.
b) (5 pts) T é invertível? Se sim encontre sua inversa T^{-1} \ldots

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+2y-2z,\;x+2y+2z,\;x-z).
O que nos pedem:
  • (a) Determinar o núcleo de T (isto é, o conjunto de vetores que vão para o vetor zero).
  • (b) Dizer se T é invertível e, se for, encontrar T^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de T(x,y,z) (usarei essas três equações lineares sempre que necessário).
  • Não há outras restrições; trabalhar em base canônica de \mathbf{R}^3.

Passo 2

O que é o núcleo e como calculá-lo (mini-aula): o núcleo de uma transformação linear T é o conjunto
\ker(T)=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0,0)\}.
Para encontrar \ker(T) precisamos resolver o sistema linear obtido ao igualar cada componente de T(x,y,z) a zero. Isso é direto e não exige teoria complicada: basta resolver as três equações simultâneas.

Passo 3

Escrevendo o sistema T(x,y,z)=(0,0,0). Peguei as equações da definição de T:
\begin{cases} x+2y-2z=0,\\[4pt] x+2y+2z=0,\\[4pt] x-z=0. \end{cases}
Agora vamos resolver passo a passo essas equações.]

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar x+2y: a segunda menos a primeira dá
(x+2y+2z)-(x+2y-2z)=4z=0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Isso já é bom — encontramos z.

Passo 5

Usando z=0 na terceira equação x-z=0 obtemos
x-0=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 6

Com x=0 e z=0, a primeira equação x+2y-2z=0 fica
0 + 2y - 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Portanto a única solução é (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 7

Conclusão sobre o núcleo (mini-interpretacão): como o único vetor que vai para zero é o vetor nulo, o núcleo é trivial:
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
Lembrete importante e útil: para uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão finita, se o núcleo é apenas \{0\} então a transformação é injetora; em \mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 injetora implica bijetora (logo invertível). Mas vou também confirmar calculando a matriz e o determinante — isso dá uma verificação direta.

Passo 8

Matriz de T na base canônica (mini-aula): para a base canônica, a matriz A de T tem em cada linha os coeficientes que formam a respectiva componente de saída. Dos termos em x,y,z nas componentes de T (peguei esses coeficientes da definição de T) obtemos
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\[4pt] 1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
porque
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2&-2\\\ 1&2&2\\\ 1&0&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+2y-2z\x+2y+2z\x-z\end{pmatrix}.]

Passo 9

Determinante da matriz A (mini-aula): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Vou calcular \det(A) por expansão na primeira linha (cada etapa here é uma conta elementar que dá para fazer sem calculadora):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]0&-1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&-1\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&0\end{pmatrix}.
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}2&2\\\ 0&-1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-2\cdot0=-2,
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&-1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-2\cdot1=-3,
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}=1\cdot0-2\cdot1=-2.
Agora substituindo:
\det(A)=1\cdot(-2)-2\cdot(-3)+(-2)\cdot(-2)=-2+6+4=8.
Logo \det(A)=8\neq 0.]

Passo 10

Interpretação do determinante: como \det(A)=8\neq0, a matriz A é invertível e portanto a transformação linear T é invertível. Isso confirma o que vimos pelo núcleo trivial. Próximo passo: encontrar explicitamente a inversa T^{-1}.

Passo 11

Método escolhido para achar T^{-1} (mini-explicação): em vez de calcular a adjunta e dividir por \det (que é um pouco mais trabalhoso em contas de papel), vou resolver o sistema linear
T(x,y,z)=(u,v,w)
para x,y,z em função de u,v,w. Esse método é direto e prático: substituímos as componentes e isolamos as variáveis. Aqui (u,v,w) representa um vetor qualquer da imagem (coordenadas de saída). No final podemos renomear as variáveis se preferir.

Passo 12

Escrevendo as equações de T(x,y,z)=(u,v,w). Peguei as expressões originais de T e as igualei a u,v,w:
\begin{cases} u = x+2y-2z,\\[4pt] v = x+2y+2z,\\[4pt] w = x - z. \end{cases}]

Passo 13

Resolver para z primeiro: subtraindo a primeira equação da segunda (peguei estas equações da etapa anterior) obtemos
v-u = (x+2y+2z)-(x+2y-2z)=4z \quad\Rightarrow\quad z=\dfrac{v-u}{4}.

Passo 14

Agora isolar x usando a terceira equação w=x-z (peguei z da etapa anterior):
x = w+z = w + \dfrac{v-u}{4} = \dfrac{4w + v - u}{4}.

Passo 15

Determinar y. Parto da primeira equação u=x+2y-2z. Reescrevendo para 2y:
2y = u - x + 2z.
Substituo as expressões de x e z que já encontrei (peguei-as nas etapas anteriores). Primeiro calcule u - x + 2z:
u - x + 2z = u - \dfrac{4w + v - u}{4} + 2\cdot\dfrac{v-u}{4}.
Coloco tudo sobre o denominador 4:
u = \dfrac{4u}{4},\qquad -x = -\dfrac{4w + v - u}{4},\qquad 2z=\dfrac{2(v-u)}{4}=\dfrac{v-u}{2}=\dfrac{2(v-u)}{4}.
Somando as frações com denominador 4:
u - x + 2z = \dfrac{4u - (4w+v-u) + 2(v-u)}{4}.
Simplifico o numerador:
4u - (4w+v-u) + 2(v-u) =4u -4w - v + u + 2v -2u = (4u+u-2u) + (-v+2v) -4w =3u + v -4w.
Logo
2y = \dfrac{3u+v-4w}{4} \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{3u+v-4w}{8}.

Passo 16

Agora reunindo as expressões para x,y,z em função de (u,v,w) (resumo final):
z=\dfrac{v-u}{4},\qquad x=\dfrac{4w+v-u}{4},\qquad y=\dfrac{3u+v-4w}{8}.
Isso define a transformação inversa T^{-1}:\mathbf{R}^3\to\mathbf{R}^3 que leva (u,v,w) em (x,y,z) conforme as fórmulas acima.

Passo 17

Verificação rápida (opcional, para confiança): se aplicarmos T ao vetor \big(\dfrac{4w+v-u}{4},\dfrac{3u+v-4w}{8},\dfrac{v-u}{4}\big) devemos recuperar (u,v,w). Pode-se verificar componente a componente (é só substituir e simplificar); como já confirmamos \det(A)=8\neq0 e resolvemos sistematicamente, a fórmula está correta.

Resposta

\ker(T)=\{(0,0,0)\}
T^{-1}(u,v,w)=\displaystyle\left(\dfrac{4w+v-u}{4},\;\dfrac{3u+v-4w}{8},\;\dfrac{v-u}{4}\right)

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