Identifique e descreva as superfícies abaixo:
x^2+2 y^2+z^2-x y-x-y+1=0;

Passo 1

O enunciado pede para identificar o lugar geométrico definido pela superfície de segundo grau
x^2+2y^2+z^2-x,y - x - y +1 = 0
O conteúdo envolvido é a classificação de quadricas em R^3: montamos a forma quadrática, verificamos sua definitude, achamos o centro e vemos se há pontos reais.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática em x,y como
Q(x,y)=x^2-x,y+2y^2,
associada à matriz simétrica
A= 1 & -tfrac12[6pt] -tfrac12 & 2
Calculamos os menores principais de A:
detl([1]r)=1>0, det(A)=1cdot 2 - l(-tfrac12r)^2 = 2 - tfrac14 = tfrac74>0
Como todos são positivos, Q é definida positiva. Além disso, o coeficiente de z^2 também é +1. Logo a parte quadrática total em (x,y,z) é definida positiva.]

Passo 3

Para achar o centro da quadric, fazemos o gradiente de
f(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2-x,y - x - y +1
igual a zero:
partial fpartial x:2x - y -1=0, partial fpartial y:4y - x -1=0, partial fpartial z:2z=0
Daqui vem
z=0, 2x - y =1, 4y - x =1,
cuja solução é
(x,y,z)=l(tfrac57,;tfrac37,;0r)

Passo 4

Avaliamo-s agora o valor mínimo de f em todo R^3. Como a parte quadrática é definida positiva, esse mínimo ocorre no centro e vale
fmin =fl(tfrac57,tfrac37,0r) =tfrac37>0
Como o menor valor que f atinge é tfrac37, não existe ponto real tal que f=0.

Passo 5

Concluímos que a quadric dada é um elipsoide (coeficientes todos positivos), mas como o valor constante desloca a superfície de modo que não haja solução real, trata-se de um elipsoide imaginário, i.e.\ não há pontos reais que satisfaçam a equação.

Resposta

A superfície é um elipsoide imaginário (vazio), pois a forma quadrática é definida positiva e o mínimo da função é 3/7>0, logo não há soluções reais.

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