Dadas as bases E=(e1, e2, e3), F=((f1, f2, f3) e G=(g1, g2, g3), tais que
lll e1=2 f1+f3, & e2=f1-f2, & e3=f1+f3 ; g1=e1-e2, & g2=e2-e3, & g3=e1+e3,
escreva todas as matrizes mudança de base possíveis.

Passo 1

O enunciado dá três bases de um espaço vetorial de dimensão 3:
e
Queremos todas as matrizes de mudança de base entre (E,F,G], isto é

Para isso, vamos montar matrizes cujas colunas sejam as coordenadas dos vetores de uma base na outra e, quando necessário, inverter ou compor essas matrizes.

Passo 2

Montamos a matriz M=PF E cujas colunas são [overrightarrow ei]F:
M= 2 & 1 & 1 0 &-1 & 0 1 & 0 & 1 ,
pois
overrightarrow e1=[2,0,1]F,
overrightarrow e2=[1,-1,0]F,
overrightarrow e3=[1,0,1]F.
Logo
PF E=M
Para obter PE F basta inverter M.

Passo 3

Calculamos M^-1. Encontramos
det M=-1 e
adj(M) = -1 & -1 & 1 0 & 1 & 0 1 & 1 &-2 ,
portanto
PE F=M^-1 =-1cdotadj(M) = 1 & 1 &-1 0 &-1 & 0 -1 &-1 & 2

Passo 4

Montamos a matriz N=PG E cujas colunas são [overrightarrow gi]E:
N= 1 & 0 & 1 -1& 1 & 0 0 &-1 & 1 ,
pois
overrightarrow g1=[1,-1,0]E,
overrightarrow g2=[0,1,-1]E,
overrightarrow g3=[1,0,1]E.
Logo
PG E=N
Para obter PE G basta inverter N.

Passo 5

Calculamos N^-1. Como det N=2 e
adj(N) = 1 &-1&-1 1 & 1&-1 1 & 1& 1 ,
temos
PE G=N^-1 =tfrac12,adj(N) =tfrac12 1 &-1 &-1 1 & 1 &-1 1 & 1 & 1
Por fim, as matrizes entre F e G são compostas:
PG F=PG E,PE F e PF G=PF E,PE G
Fazendo as multiplicações, obtemos
PG F = 0 & 0 & 1 -1&-2 & 1 -1& 0 & 2 , PF G =tfrac12 1 & -1 & -3 -1& -1 & 1 0 & 2 & 4

Resposta

PF E=2&1&10&-1&01&0&1
PE F=1&1&-10&-1&0-1&-1&2
PG E=1&0&1-1&1&00&-1&1
PE G=tfrac121&-1&-11&1&-11&1&1
PG F=0&0&1-1&-2&1-1&0&2
PF G=tfrac121&-1&-3-1&-1&10&2&4

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