Determine m, n in R tal que o conjunto dado seja linearmente dependente:
(m, 2, n),(3, m+n, m-1).

Passo 1

Temos dois vetores em R^3:
v1 = (m,,2,,n), v2 = (3,,m+n,,m-1)
Eles serão linearmente dependentes se e só se existir lambdainR tal que
v1 = lambda,v2
Vamos usar essa condição para obter equações em m, n e lambda.

Passo 2

Da igualdade componente a componente v1 = lambda v2 obtemos
m = 3lambda, 2 = (m+n),lambda, n = (m-1),lambda
Da primeira equação segue
lambda = m3

Passo 3

Substituindo lambda = tfracm3 na segunda equação 2 = (m+n)lambda, vem
2 = (m+n),m3 Longrightarrow 6 = m,(m+n) Longrightarrow m^2 + m,n - 6 = 0 tag1

Passo 4

Substituindo lambda = tfracm3 na terceira equação n = (m-1)lambda, vem
n = (m-1),m3 Longrightarrow n = m^2 - m3 tag2

Passo 5

Para eliminar n, inserimos (2) em (1):
m^2 + ml(m^2 - m3r) - 6 = 0 Longrightarrow m^2 + m^3 - m^23 - 6 = 0 Longrightarrow m^3 + 2m^2 - 18 = 0
Esse é um polinômio cúbico que admite exatamente uma raiz real. Numericamente,
m approx 2,097ldots
e então de (2)
n = m^2 - m3approx (2,097)^2 - 2,0973approx 0,766ldots

Resposta

O conjunto é linearmente dependente somente se
m^3 + 2m^2 - 18 = 0, n = m^2 - m3
Numericamente,
mapprox 2,097, napprox 0,766

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