Sendo, como adotado em sala, (i, j k) uma base ortonormal de V^3, sejam
u=2 i-j+3 k, v=4 i+5 j+k e w=3 i-j+m k
a) Calcule |u| e|v|.
b) Clacule u cdot v.
c) Determine m in R tal que u perp w.
d) Determine, usando possivelmente uma calculadora, o ângulo entre u e v.
e) Determine os cossenos diretores de u e v. Confira o resultado do item anterior, utilizando esses cossenos diretores.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u = (2,,-1,,3), v = (4,,5,,1) e w = (3,,-1,,m) na base ortonormal (i,j,k) de V^3.
O conteúdo envolve norma de vetor, produto escalar, ângulo entre vetores e cossenos diretores.

Passo 2

Para achar as normas usamos
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14,
|v| = raiz4^2 + 5^2 + 1^2 = raiz16 + 25 + 1 = raiz42

Passo 3

O produto escalar é
ucdotv = 2cdot4 + (-1)cdot5 + 3cdot1 = 8 -5 +3 = 6

Passo 4

Para uperpw exigimos ucdotw=0, ou seja
2cdot3 + (-1)cdot(-1) + 3cdot m = 0 ;Longrightarrow; 6 +1 +3m =0 ;Longrightarrow; 3m = -7 ;Longrightarrow; m = -tfrac73

Passo 5

O cosseno do ângulo theta entre u e v é
costheta = ucdotv|u|,|v| = 6raiz14,raiz42 = 6raiz588 approx 0,2474
Logo o ângulo é
theta = arccos(0,2474)approx 75,7^circ

Passo 6

Os cossenos diretores de u são
alphau = 2raiz14approx 0,5345, betau = -1raiz14approx -0,2673, gammau = 3raiz14approx 0,8018
Os de v são
alphav = 4raiz42approx 0,6163, betav = 5raiz42approx 0,7715, gammav = 1raiz42approx 0,1543
Verificando o cosseno do ângulo via cossenos diretores:
alphaualphav + betaubetav + gammaugammav = 2cdot4 + (-1)cdot5 + 3cdot1raiz14,raiz42 = 6raiz14,raiz42 approx 0,2474,
coerente com o item anterior.

Resposta

a) |u|=raiz14, |v|=raiz42
b) ucdotv=6
c) m=-tfrac73
d) thetaapprox75,7^circ
e)
(alphau,betau,gammau)=(tfrac2raiz14,-tfrac1raiz14,tfrac3raiz14),
(alphav,betav,gammav)=(tfrac4raiz42,tfrac5raiz42,tfrac1raiz42)
Verificação:
alphaualphav+betaubetav+gammaugammavapprox0,2474.

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