Dadas as bases ordenadas alpha e beta indicadas abaixo, dos respectivos espaços vetoriais, encontre [I]beta^alpha e [I]alpha^beta.
$\alpha={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} $ e $\beta={(1,1,0),(0,1,1),(2,2,1)} $ em alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as matrizes de mudança de base da transformação identidade entre duas bases ordenadas em R^3: alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e beta=(1,1,0),(0,1,1),(2,2,1). O conteúdo é mudança de base e vamos usar que as colunas da matriz [I]alpha^beta são as coordenadas dos vetores de beta na base alpha, e que .

Passo 2

Montamos primeiro [I]alpha^beta. Como alpha é a base canônica, as coordenadas de cada vetor de beta em alpha são seus próprios componentes. Assim
[I]alpha^beta=1 & 0 & 21 & 1 & 20 & 1 & 1

Passo 3

Para achar [I]beta^alpha basta inverter essa matriz. Calculamos o determinante (que deu 1) e usamos eliminação de Gauss para obter

Passo 4

Verificamos que [I]alpha^beta e [I]beta^alpha são de fato inversas, concluindo a solução.

Resposta

[I]beta^alpha=-1 & 2 & -2-1 & 1 & 01 & -1 & 1,
[I]alpha^beta=1 & 0 & 21 & 1 & 20 & 1 & 1

Exercícios relacionados