Exercício 11 Sejam , funções isto é, vetores do espaço vetorial ). Suponha que e tenham derivadas até segunda ordem e que existe tal que
Mostre que o conjunto f, g, h in F(R, R) é l.i. (Sugestão: escreva a combinação linear a f+b g+c h=0 e mostre que a=b=c=0, derivando essa combinação linear duas vezes.)
Passo 1
Neste exercício, queremos mostrar que o conjunto {f, g, h} é linearmente independente no espaço de funções ℱ(ℝ,ℝ). Sabemos que f, g e h têm derivadas até segunda ordem e que o determinante do Wronskiano em um ponto x₀ é diferente de zero. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear nula, derivação de combinações lineares e a teoria de sistemas lineares homogêneos com determinante não nulo.
Passo 2
Considere uma combinação linear genérica igual a zero:
a,f(x) + b,g(x) + c,h(x) = 0, para todo xinR
Derivando essa igualdade, obtemos
a,f'(x) + b,g'(x) + c,h'(x) = 0,
e derivando novamente:
a,f''(x) + b,g''(x) + c,h''(x) = 0
Passo 3
Avaliando essas três equações em x = x₀ formamos o sistema homogêneo: