Exercício 11 Sejam f, g, h funções : R R( isto é, vetores do espaço vetorial F(R, R) ). Suponha que f, g e h tenham derivadas até segunda ordem e que existe x0 in R tal que
det(lll f(x0) & g(x0) & h(x0) f^prime(x0) & g^prime(x0) & h^prime(x0) f^prime prime(x0) & g^prime prime(x0) & h^prime prime(x0) ) neq 0
Mostre que o conjunto f, g, h in F(R, R) é l.i. (Sugestão: escreva a combinação linear a f+b g+c h=0 e mostre que a=b=c=0, derivando essa combinação linear duas vezes.)

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que o conjunto {f, g, h} é linearmente independente no espaço de funções ℱ(ℝ,ℝ). Sabemos que f, g e h têm derivadas até segunda ordem e que o determinante do Wronskiano em um ponto x₀ é diferente de zero. Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear nula, derivação de combinações lineares e a teoria de sistemas lineares homogêneos com determinante não nulo.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica igual a zero:
a,f(x) + b,g(x) + c,h(x) = 0, para todo xinR
Derivando essa igualdade, obtemos
a,f'(x) + b,g'(x) + c,h'(x) = 0,
e derivando novamente:
a,f''(x) + b,g''(x) + c,h''(x) = 0

Passo 3

Avaliando essas três equações em x = x₀ formamos o sistema homogêneo:
a,f(x0) + b,g(x0) + c,h(x0) = 0,
a,f'(x0) + b,g'(x0) + c,h'(x0) = 0,
a,f''(x0) + b,g''(x0) + c,h''(x0) = 0

Passo 4

Escrevendo em forma matricial, fica:
f(x0) & g(x0) & h(x0) f'(x0) & g'(x0) & h'(x0) f''(x0) & g''(x0) & h''(x0) abc = 000
Como o determinante dessa matriz (o Wronskiano em x₀) é diferente de zero, o único vetor solução é (a,b,c) = (0,0,0).

Resposta

a = b = c = 0, logo {f, g, h} é linearmente independente.

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