Exercício 10 No espaço das funções
considere o subespaço
gerado pelas funções
e
e
. Seja
a função dada por
. Diga se
ou não. (Sugestão: se o conjunto
é l.i então
e
caso contrário.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
pertence ao subespaço
, onde
e
. O conteúdo é espaço gerado por funções e independência linear, e vamos usar o critério de que
se e somente se
for LD, e
se
for LI.
Passo 2
Para testar a independência linear de
, consideramos uma combinação linear nula:
com constantes
. Se apenas a solução trivial
existir, então são LI.
Passo 3
Diferenciamos a identidade acima em relação a
para obter outra relação entre
:
Isso gera um sistema de funções independentes (
), o que implica que os coeficientes de cada uma devem ser zero:
,
e
.
Passo 4
Como só existe a solução trivial, as funções
são linearmente independentes. Logo,
não pode ser escrito como combinação linear de
e
, ou seja,
.