Exercício 10 No espaço das funções F(R, R) considere o subespaço W=lang<= f, grang<= gerado pelas funções f e g com f(x)=sen x e g(x)=cos x. Seja h in F(R, R) a função dada por h(x)=x. Diga se h in W ou não. (Sugestão: se o conjunto f, g, h é l.i então h notin W e h in W caso contrário.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função h(x)=x pertence ao subespaço W=lang<= f,grang<=, onde f(x)=sin x e g(x)=cos x. O conteúdo é espaço gerado por funções e independência linear, e vamos usar o critério de que hin W se e somente se f,g,h for LD, e hnotin W se f,g,h for LI.

Passo 2

Para testar a independência linear de f,g,h, consideramos uma combinação linear nula:
Asin x + Bcos x + Cx = 0, forall xinR,
com constantes A,B,C. Se apenas a solução trivial A=B=C=0 existir, então são LI.

Passo 3

Diferenciamos a identidade acima em relação a x para obter outra relação entre A,B,C:
Acos x - Bsin x + C = 0, forall x
Isso gera um sistema de funções independentes ( sin x,cos x,1), o que implica que os coeficientes de cada uma devem ser zero:
A=0, B=0 e C=0.

Passo 4

Como só existe a solução trivial, as funções f, g, h são linearmente independentes. Logo, h não pode ser escrito como combinação linear de f e g, ou seja, hnotin W.

Resposta

h(x)=x não pertence a W=lang<=sin x,cos xrang<=.

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