A seguir estão listados um vetor e uma base de algum espaço vetorial. Em cada um dos casos escreva a matriz de coordenadas .
  1. e .
  2. e .

Passo 1

O exercício pede para expressar vetores em relação a uma base, i.e., encontrar as coordenadas de um vetor v em relação a uma base β. O conteúdo é resolução de sistema linear para coordenadas em bases em ℝ² e ℝ³.

Passo 2

Para o caso 1, temos v=(2,3) e β={ (1,1), (−1,1) }. Precisamos achar a e b tais que
a,(1,1)+b,(-1,1)=(2,3)
Isso gera o sistema
a - b = 2, a + b = 3
Somando as duas equações dá 2a=5 ⇒ a=5/2. Substituindo em a+b=3 vem b=3−5/2=1/2. Logo as coordenadas são (5/2,1/2).

Passo 3

Para o caso 2, temos v=(2,3,1) e β={ (1,1,1), (−1,1,0), (0,0,1) }. Queremos a, b, c tais que
a(1,1,1)+b(-1,1,0)+c(0,0,1)=(2,3,1)
Isso dá o sistema
a - b = 2, a + b = 3, a + c = 1
Das duas primeiras equações vem a=5/2 e b=1/2. Da terceira, c=1−a=1−5/2=−3/2. Assim as coordenadas são (5/2,1/2,−3/2).

Resposta

Para o caso 1:
[v]beta=5/21/2
Para o caso 2:
[v]beta=5/21/2-3/2

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