A seguir estão listados um vetor
e uma base
de algum espaço vetorial. Em cada um dos casos escreva a matriz de coordenadas
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-
e
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-
e
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Passo 1
O exercício pede para expressar vetores em relação a uma base, i.e., encontrar as coordenadas de um vetor v em relação a uma base β. O conteúdo é resolução de sistema linear para coordenadas em bases em ℝ² e ℝ³.
Passo 2
Para o caso 1, temos v=(2,3) e β={ (1,1), (−1,1) }. Precisamos achar a e b tais que
Isso gera o sistema
Somando as duas equações dá 2a=5 ⇒ a=5/2. Substituindo em a+b=3 vem b=3−5/2=1/2. Logo as coordenadas são (5/2,1/2).
Passo 3
Para o caso 2, temos v=(2,3,1) e β={ (1,1,1), (−1,1,0), (0,0,1) }. Queremos a, b, c tais que
Isso dá o sistema
Das duas primeiras equações vem a=5/2 e b=1/2. Da terceira, c=1−a=1−5/2=−3/2. Assim as coordenadas são (5/2,1/2,−3/2).
Resposta
Para o caso 1:
Para o caso 2: