Dadas as bases ordenadas e indicadas abaixo, dos respectivos espaços vetoriais, encontre e .
3. $\alpha={(1,2,0),(1,1,2),(1,3,2)} $ e $\beta={(1,1,0),(0,1,1),(2,2,1)} $ em . (Sugestão: seja a base canônica. Então, . Calcular matriz de mudança quando uma das bases é a canônica é mais fácil.)
Passo 1
Temos as bases ordenadas e em . O conteúdo é mudança de base entre e . Vamos usar a base canônica e a relação .
Passo 2
Primeiro encontramos , que converte coordenadas em para coordenadas na base canônica (ou seja, as próprias colunas de )
Passo 3
Agora achamos [I]beta^gamma, que exprime cada vetor canônico ei em coordenadas na base beta. Resolvendo e1=(1,0,0)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(2,2,1) etc., obtemos
[I]beta^gamma = -1 & 2 & -2 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1
Passo 4
Multiplicamos para obter [I]beta^alpha=[I]beta^gamma[I]gamma^alpha. Fazendo o produto de matrizes,
[I]beta^alpha = 3 & -3 & 1 1 & 0 & 2 -1 & 2 & 0
Passo 5
Por fim, [I]alpha^beta é a inversa de [I]beta^alpha. Calculando o determinante e a matriz adjunta, achamos