Dadas as bases ordenadas alpha e beta indicadas abaixo, dos respectivos espaços vetoriais, encontre [I]beta^alpha e [I]alpha^beta.
3. $\alpha={(1,2,0),(1,1,2),(1,3,2)} $ e $\beta={(1,1,0),(0,1,1),(2,2,1)} $ em alpha=(1,2,0),(1,1,2),(1,3,2) . (Sugestão: seja beta=(1,1,0),(0,1,1),(2,2,1) a base canônica. Então, R^3. Calcular matriz de mudança quando uma das bases é a canônica é mais fácil.)

Passo 1

Temos as bases ordenadas alpha=(1,2,0),(1,1,2),(1,3,2) e beta=(1,1,0),(0,1,1),(2,2,1) em R^3. O conteúdo é mudança de base entre alpha e beta. Vamos usar a base canônica gamma e a relação [I]beta^alpha=[I]beta^gamma[I]gamma^alpha.

Passo 2

Primeiro encontramos [I]gamma^alpha, que converte coordenadas em alpha para coordenadas na base canônica (ou seja, as próprias colunas de alpha)
[I]gamma^alpha = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 3 0 & 2 & 2

Passo 3

Agora achamos [I]beta^gamma, que exprime cada vetor canônico ei em coordenadas na base beta. Resolvendo
e1=(1,0,0)=a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(2,2,1) etc., obtemos
[I]beta^gamma = -1 & 2 & -2 -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1

Passo 4

Multiplicamos para obter [I]beta^alpha=[I]beta^gamma[I]gamma^alpha. Fazendo o produto de matrizes,
[I]beta^alpha = 3 & -3 & 1 1 & 0 & 2 -1 & 2 & 0

Passo 5

Por fim, [I]alpha^beta é a inversa de [I]beta^alpha. Calculando o determinante e a matriz adjunta, achamos
[I]alpha^beta = ([I]beta^alpha)^-1 = 1 & -tfrac12 & tfrac32 tfrac12 & -tfrac14 & tfrac54 -tfrac12 & tfrac34 & -tfrac34

Resposta

[I]beta^alpha=3 & -3 & 11 & 0 & 2-1 & 2 & 0, [I]alpha^beta=1 & -tfrac12 & tfrac32tfrac12 & -tfrac14 & tfrac54-tfrac12 & tfrac34 & -tfrac34.

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