Determine um vetor \vec{w} que seja simultaneamente ortogonal a \vec{u}=-\hat{\imath}+3 \hat{\jmath}-\hat{k} e \vec{v}=\hat{\imath}+4 \hat{\jmath}+2 \hat{k}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{w} que seja simultaneamente ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}. As informações dadas são:
  • \vec{u} = -\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} - \hat{k}.
  • \vec{v} = \hat{\imath} + 4\hat{\jmath} + 2\hat{k}.
O que é perguntado: encontrar um vetor \vec{w} tal que \vec{w}\cdot\vec{u}=0 e \vec{w}\cdot\vec{v}=0.

Passo 2

Estratégia útil (explicação didática do conceito que vou usar):
  • Em \mathbb{R}^3, um produto vetorial (ou “cross product”) entre dois vetores produz um terceiro vetor ortogonal aos dois originais.
  • A fórmula do produto vetorial é, para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3):
\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
  • Uma forma prática para calcular os componentes é usar as fórmulas:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2,
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3,
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1.
Aqui cada subíndice indica a componente nas direções \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} respectivamente.

Passo 3

Identificando as componentes dos vetores dados:
u_1 = -1,\quad u_2 = 3,\quad u_3 = -1,
v_1 = 1,\quad v_2 = 4,\quad v_3 = 2.
Agora calculo cada componente do produto vetorial usando as fórmulas do passo anterior.
Primeira componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 = 3\cdot 2 - (-1)\cdot 4 = 6 + 4 = 10.
Segunda componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 = (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot 2 = -1 + 2 = 1.
Terceira componente:
(\vec{u}\times\vec{v})_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 = (-1)\cdot 4 - 3\cdot 1 = -4 - 3 = -7.

Passo 4

Verificação da ortogonalidade (ensino prático de verificação):
  • Para mostrar que um vetor é ortogonal a outro, calculamos o produto escalar (dot product) e verificamos se é zero.
Calculo \vec{u}\cdot\vec{w} substituindo as componentes calculadas (usando os números obtidos no passo 3):
\vec{u}\cdot\vec{w} = u_1\cdot 10 + u_2\cdot 1 + u_3\cdot (-7) = (-1)\cdot 10 + 3\cdot 1 + (-1)\cdot(-7) = -10 + 3 + 7 = 0.
Calculo \vec{v}\cdot\vec{w}:
\vec{v}\cdot\vec{w} = v_1\cdot 10 + v_2\cdot 1 + v_3\cdot (-7) = 1\cdot 10 + 4\cdot 1 + 2\cdot(-7) = 10 + 4 - 14 = 0.
Como ambos produtos escalares são zero, o vetor formado pelas componentes calculadas é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.

Passo 5

Observações finais de prova (dica prática):
  • Qualquer múltiplo escalar de um vetor ortogonal continua sendo ortogonal. Assim, além do vetor que encontrei, 2\vec{w} ou -\vec{w} também serviriam.
  • Se for conveniente apresentar um vetor com componentes inteiras menores, pode-se tentar dividir por um divisor comum; aqui os componentes 10,1,-7 não têm divisor inteiro comum maior que 1, então já está em forma inteira e “simples”.

Resposta

\vec{w}=10\hat{\imath}+\hat{\jmath}-7\hat{k}

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