Dados os vetores \vec{u}=x \hat{\imath}-\hat{\jmath}+3 \hat{k} e \vec{v}=(x, x,-2) :
a) Quais devem ser os valores de x para que esses vetores sejam ortogonais?
b) Qual condição que x deve obedecer para que o ângulo entre esses vetores seja obtuso?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=x\hat{\imath}-\hat{\jmath}+3\hat{k} e \vec{v}=(x,x,-2). As perguntas são:
  • (a) Quais valores de x fazem com que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais?
  • (b) Qual condição em x faz com que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} seja obtuso?
Informações relevantes fornecidas:
  • Componentes de \vec{u}: \vec{u}=(x,-1,3).
  • Componentes de \vec{v}: \vec{v}=(x,x,-2).
  • Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta principal que usamos para relacionar componentes de vetores e ângulos: produto escalar (dot product).
Definição e propriedades importantes (explicado devagar):
  • Para vetores em \mathbb{R}^3 com componentes \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Aqui a_i e b_i são as componentes na direção \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.
  • Relação com o ângulo \theta entre os vetores:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta,
onde \|\vec{a}\| é o comprimento (norma) de \vec{a}.
  • Consequências úteis:
    • Vetores são ortogonais (perpendiculares) quando \vec{a}\cdot\vec{b}=0 porque então \cos\theta=0 e \theta=90^\circ.
    • O ângulo é obtuso quando \cos\theta<0, o que equivale a \vec{a}\cdot\vec{b}<0.
Usaremos essas ideias para traduzir as perguntas em equações com x.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} usando as componentes:
\vec{u}=(x,-1,3),\qquad \vec{v}=(x,x,-2).
Aplicando a fórmula componente a componente:
\vec{u}\cdot\vec{v}=x\cdot x + (-1)\cdot x + 3\cdot(-2).
Agora simplifico termo a termo:
\vec{u}\cdot\vec{v}=x^2 - x - 6.

Passo 4

Resolver a parte (a): ortogonalidade requer \vec{u}\cdot\vec{v}=0. Portanto devemos resolver
x^2 - x - 6 = 0.
Esta é uma equação quadrática. Vou fatorar: procurar dois números cujo produto seja -6 e soma seja -1. Esses números são -3 e 2? Não — soma -1 pede -3 e 2 -1 e produto -6. Então:
x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2).
Logo as soluções são
x=3 \quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 5

Resolver a parte (b): ângulo obtuso.
Como explicado no Passo 2, o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é obtuso se e somente se
\vec{u}\cdot\vec{v}<0.
Usando o resultado do Passo 3, isso vira a desigualdade
x^2 - x - 6 < 0.

Passo 6

Resolver a desigualdade quadrática \,x^2 - x - 6 < 0.
  • Já sabemos as raízes da quadrática: x=-2 e x=3.
  • A função f(x)=x^2-x-6 é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, portanto ela é negativa entre as raízes e positiva fora delas.
  • Assim a solução da desigualdade é
-2 < x < 3.

Passo 7

Verificações rápidas (exemplos numéricos para ganhar confiança):
  • Se x=3, então \vec{u}\cdot\vec{v}=0 (ortogonais).
  • Se x=0 (que está em (-2,3)), então \vec{u}\cdot\vec{v}=0^2-0-6=-6<0 (ângulo obtuso).
  • Se x=4 (fora do intervalo), então \vec{u}\cdot\vec{v}=16-4-6=6>0 (ângulo agudo).

Resposta

x=3 ou x=-2
-2<x<3

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