Dados os vetores
e
:
a) Quais devem ser os valores de
para que esses vetores sejam ortogonais?
b) Qual condição que
deve obedecer para que o ângulo entre esses vetores seja obtuso?
a) Quais devem ser os valores de
b) Qual condição que
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores
e
. As perguntas são:
- (a) Quais valores de
fazem com que e sejam ortogonais? - (b) Qual condição em
faz com que o ângulo entre e seja obtuso?
Informações relevantes fornecidas:
- Componentes de
: . - Componentes de
: . - Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Vamos lembrar a ferramenta principal que usamos para relacionar componentes de vetores e ângulos: produto escalar (dot product).
Definição e propriedades importantes (explicado devagar):
- Para vetores em
com componentes e , o produto escalar é
Aqui
e
são as componentes na direção
.
- Relação com o ângulo
entre os vetores:
onde
é o comprimento (norma) de
.
- Consequências úteis:
- Vetores são ortogonais (perpendiculares) quando
porque então e . - O ângulo é obtuso quando
, o que equivale a .
- Vetores são ortogonais (perpendiculares) quando
Usaremos essas ideias para traduzir as perguntas em equações com
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando as componentes:
Aplicando a fórmula componente a componente:
Agora simplifico termo a termo:
Passo 4
Resolver a parte (a): ortogonalidade requer
. Portanto devemos resolver
Esta é uma equação quadrática. Vou fatorar: procurar dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
? Não — soma
pede
e
dá
e produto
. Então:
Logo as soluções são
Passo 5
Resolver a parte (b): ângulo obtuso.
Como explicado no Passo 2, o ângulo entre
e
é obtuso se e somente se
Usando o resultado do Passo 3, isso vira a desigualdade
Passo 6
Resolver a desigualdade quadrática
.
- Já sabemos as raízes da quadrática:
e . - A função
é uma parábola com coeficiente de positivo, portanto ela é negativa entre as raízes e positiva fora delas. - Assim a solução da desigualdade é
Passo 7
Verificações rápidas (exemplos numéricos para ganhar confiança):
- Se
, então (ortogonais). - Se
(que está em ), então (ângulo obtuso). - Se
(fora do intervalo), então (ângulo agudo).